Question

20．如圖，已知CD是圓中的弦，B為圓上一點，且$\widehat{BC}$=$\widehat{BD}$．
（1）請你在圖中利用三角板畫出過點B的圓的切線BE，并說明你畫圖的正確性（不寫畫法，但保留畫圖痕跡）；
（2）點A是圓上異于B、C和D的任意一點，連接AB、AC、AD，直接寫出∠BAC和∠BAD的數(shù)量關系．

Answer 1

分析 （1）如圖1，用三角板畫BH⊥CD于H，再過B點畫BE⊥BH，由于$\widehat{BC}$=$\widehat{BD}$，根據(jù)垂徑定理的推理得CH=DH，則BH垂直平分CD，所以BH過圓的圓心，則根據(jù)切線的判定定理可得BE為圓的切線；
（2）分類討論：當點A在$\widehat{CD}$上，如圖2，根據(jù)圓周角定理易得∠BAC=∠BAD；當點A在$\widehat{BC}$上，如圖3，連結BD，先利用圓周角定理得到∠BAD=∠BDC，根據(jù)圓內接四邊形的性質得∠BAC+∠BDC=180°，則∠BAC+∠BAD=180°，當點A在$\widehat{BD}$上，同理可得∠BAC+∠BAD=180°，所以∠BAC與∠BAD相等或互補．

解答 解：（1）如圖1，用三角板畫BH⊥CD于H，再過B點畫BE⊥BH，則BE為所求；理由為：
∵$\widehat{BC}$=$\widehat{BD}$，
而BH⊥CD，
∴CH=DH，
即BH垂直平分CD，
∴BH過圓的圓心，
∵BE⊥BH，
∴BE為圓的切線；
（2）當點A在$\widehat{CD}$上，如圖2，∵$\widehat{BC}$=$\widehat{BD}$，
∴∠BAC=∠BAD；
當點A在$\widehat{BC}$上，如圖3，連結BD，
∵$\widehat{BC}$=$\widehat{BD}$，
∴∠BAD=∠BDC，
∵∠BAC+∠BDC=180°
∴∠BAC+∠BAD=180°；
當點A在$\widehat{BD}$上，同理可得∠BAC+∠BAD=180°，
綜上所述，∠BAC和∠BAD的數(shù)量關系為相等或互補．

點評 本題考查了作圖：復雜作圖：復雜作圖是在五種基本作圖的基礎上進行作圖，一般是結合了幾何圖形的性質和基本作圖方法．解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了垂徑定理、圓周角定理和切線的性質．