Question

15．如圖，菱形ABCD中，G是BC中點，連接AG，作CF⊥AB于F交AG于M，AE⊥BC交CF于H，現(xiàn)過D作DN平行等于MC；連接CN．
（1）若CH=9，求AH的長；
（2）求證：CN=MG+AG．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，連接AC，只要證明∠BCA=∠BAC，∠BAE=∠BCF即可得到∠HAC=∠HCA，由此即可解決問題．
（2）延長AG到K，使得GK=GM，連接BK，CK，想辦法證明△ABK≌△CDN即可解決問題．

解答 （1）解：如圖1中，連接AC．
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA，
∴∠BCA=∠BAC，
∵AE⊥BC，CF⊥AB，
∴∠AEC=∠CFA=90°，
∴∠B+∠BCF=90°，∠B+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠BCF，
∴∠HAC=∠HCA，
∴AH=HC=9．
（2）證明：如圖2中，延長AG到K，使得GK=GM，連接BK，CK，BM，
∵BG=GC，GM=GK，
∴四邊形FBKC是平行四邊形，
∴CM=BK=DN，BK∥CF，
∵DN∥CM，
∴∠CDN=∠FCD=∠CFB=90°，
∴∠ABK+∠BFC=180°，
∴∠ABK=∠CDN=90°，
在△ABK和△CDN中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}\\{∠ABK=∠CDN}\\{BK=DN}\end{array}\right.$，
∴△ABK≌△CDN，
∴CN=AK=AG+GK=AG+GM．
∴CN=AG+GM．

點評 本題考查菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造特殊四邊形，屬于中考常考題型．