Question

20．為積極支持鄂州市創(chuàng)建國(guó)家衛(wèi)生城市工作，某商家計(jì)劃從廠家采購(gòu)A，B兩種清潔產(chǎn)品共20件，產(chǎn)品的采購(gòu)單價(jià)（元/件）是采購(gòu)數(shù)量（件）的相關(guān)信息如下表所示．

采購(gòu)數(shù)量（件）	2	4	6	…
A產(chǎn)品單價(jià)（元）	1460	1420	1380	…
B產(chǎn)品單價(jià)（元）	1280	1260	1240	…

（1）設(shè)B產(chǎn)品的采購(gòu)數(shù)量為x（件），采購(gòu)單價(jià)為y₁（元/件），求y₁與x的關(guān)系式；
（2）經(jīng)商家與廠家協(xié)商，采購(gòu)A產(chǎn)品的數(shù)量不少于B產(chǎn)品數(shù)量的$\frac{11}{9}$，且B產(chǎn)品采購(gòu)單價(jià)不高于1250元，求該商家共有幾種進(jìn)貨方案？
（3）該商家分別以1760元/件和1700元/件的銷(xiāo)售單價(jià)售出A，B兩種產(chǎn)品，且全部售完，在（2）的條件下，求采購(gòu)A種產(chǎn)品多少件時(shí)總利潤(rùn)最大？并求最大利潤(rùn)．

Answer 1

分析 （1）設(shè)y₁與x的關(guān)系式y(tǒng)₁=kx+b，由表列出k和b的二元一次方程，求出k和b的值，函數(shù)關(guān)系式即可求出；
（2）首先根據(jù)題意求出x的取值范圍，結(jié)合x(chóng)為整數(shù)，即可判斷出商家的幾種進(jìn)貨方案；
（3）令總利潤(rùn)為W，根據(jù)利潤(rùn)=售價(jià)-成本列出W與x的函數(shù)關(guān)系式W=30x²-660x+13200，把一般式寫(xiě)成頂點(diǎn)坐標(biāo)式，求出二次函數(shù)的最值即可．

解答 解：（1）設(shè)y₁=kx+b，
根據(jù)題意，得：$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=1280}\\{4k+b=1260}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-10}\\{b=1300}\end{array}\right.$，
∴y₁=-10x+1300；

（2）根據(jù)題意，得：$\left\{\begin{array}{l}{20-x≥\frac{11}{9}x}\\{-10x+1300≤1250}\end{array}\right.$，
解得：5≤x≤9，
∵x為整數(shù)，
∴x可取的整數(shù)值為5、6、7、8、9，
∴該商家共有5種進(jìn)貨方案．

（3）設(shè)A產(chǎn)品的銷(xiāo)售單價(jià)y₂與銷(xiāo)售數(shù)量a之間的函數(shù)關(guān)系式為y₂=ma+n，
由題意，得：$\left\{\begin{array}{l}{2m+n=1460}\\{4m+n=1420}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-20}\\{n=1500}\end{array}\right.$，
則y₂=-20a+1500，
∵a=20-x，
∴y₂=-20（20-x）+1500=20x+1100，
令總利潤(rùn)為W，
則W=（1760-y₂）（20-x）+（1700-y₁）x
=（1760-20x-1100）（20-x）+（1700+10x-1300）x
=30x²-660x+13200
=30（x-11）²+9570，
∵當(dāng)x＜11時(shí)，W隨x的增大而減小，
∴當(dāng)x=5時(shí)，W取得最大值，最大值為30×36+9570=10650，
此時(shí)A產(chǎn)品的銷(xiāo)售數(shù)量20-x=15，
答：采購(gòu)A種產(chǎn)品15件時(shí)總利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為10650元．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確銷(xiāo)售單價(jià)與銷(xiāo)售件數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系式，會(huì)表達(dá)單件的利潤(rùn)及總利潤(rùn)．