Question

13．如圖．拋物線y=-x²+2x+3交x軸于點(diǎn)A（a，0），B（b，0），交y軸于點(diǎn)C，拋物線的頂點(diǎn)為D，點(diǎn)C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為E，點(diǎn)G、F分別在x軸、y軸上，則四邊形EDFG的周長(zhǎng)的最小值為（　�。�

• A． 5+$\sqrt{2}$+$\sqrt{7}$
• B． 5+$\sqrt{2}$+$\sqrt{13}$
• C． $\sqrt{2}$+$\sqrt{13}$+$\sqrt{17}$
• D． $\sqrt{2}$+$\sqrt{58}$

Answer 1

分析 根據(jù)拋物線解析式求得點(diǎn)D（1，4）、點(diǎn)E（2，3），作點(diǎn)D關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)D′（-1，4）、作點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)E′（2，-3），從而得四邊形EDFG的周長(zhǎng)=DE+DF+FG+GE=DE+D′F+FG+GE′，當(dāng)點(diǎn)D′、F、G、E′四點(diǎn)共線時(shí)，周長(zhǎng)最短，據(jù)此根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可得答案．

解答 解：如圖，

在y=-x²+2x+3中，當(dāng)x=0時(shí)，y=3，即點(diǎn)C（0，3），
∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴對(duì)稱軸為x=1，頂點(diǎn)D（1，4），
則點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，3），
作點(diǎn)D關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)D′（-1，4），作點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)E′（2，-3），
連接D′、E′，D′E′與x軸的交點(diǎn)G、與y軸的交點(diǎn)F即為使四邊形EDFG的周長(zhǎng)最小的點(diǎn)，
四邊形EDFG的周長(zhǎng)=DE+DF+FG+GE
=DE+D′F+FG+GE′
=DE+D′E′
=$\sqrt{（1-2）^{2}+（4-3）^{2}}$+$\sqrt{（-1-2）^{2}+（4+3）^{2}}$
=$\sqrt{2}$+$\sqrt{58}$，
∴四邊形EDFG的周長(zhǎng)的最小值為$\sqrt{2}$+$\sqrt{58}$，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查拋物線與x軸的交點(diǎn)、軸對(duì)稱-最短路線問題，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得出點(diǎn)F、G的位置是解題的關(guān)鍵．