Question

4．如圖，等邊三角形OBC的邊長為10，點P沿O→B→C→O的方向運動，⊙P的半徑為$\sqrt{3}$．⊙P運動一圈與△OBC的邊相切6次，每次相切時，點P到等邊三角形頂點最近距離是2．

Answer 1

分析 當點P在OB上且與邊OC相切時，作PH⊥OC于H，根據直線與圓相切的判定得到PH=$\sqrt{3}$，再根據等邊三角形的性質得∠O=60°，在Rt△OPH中，利用含30度的直角三角形三邊的關系得到OH=$\frac{\sqrt{3}}{3}$PH=1，OP=2OH=2，即點P在OB，OP=2時，⊙P與邊OC相切，然后利用同樣的方法可得BP=2或CP=2時，⊙P與△OBC的邊相切．

解答 解：當點P在OB上且與邊OC相切時，如圖所示：
作PH⊥OC于H，則PH=$\sqrt{3}$，
∵△OBC為等邊三角形，
∴∠O=60°，
在Rt△OPH中，OH=$\frac{\sqrt{3}}{3}$PH=1，
OP=2OH=2，
∴點P在OB，OP=2時，⊙P與邊OC相切，
同理可得點P在OB，BP=2時，⊙P與邊BC相切；
點P在BC，BP=2時，⊙P與邊OB相切，
點P在BC，CP=2時，⊙P與邊OC相切，
點P在OC，CP=2時，⊙P與邊BC相切，
點P在OC，OP=2時，⊙P與邊OB相切，
綜上所述，⊙P運動一圈與△OBC的邊相切6次，每次相切時，點P分別距離△OBC的頂點2個單位；
故答案為：6；2．

點評 本題考查了直線和圓的位置關系：設⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d．直線l和⊙O相交?d＜r；直線l和⊙O相切?d=r；直線l和⊙O相離?d＞r．也考查了等邊三角形的性質．