Question

5．如圖，在兩個(gè)半圓中，大圓的弦MN與小圓相切，D為切點(diǎn)，且MN∥AB，MN=a，ON、CD分別為兩圓的半徑，求陰影部分的面積．

Answer 1

分析 如圖，作OE⊥MN于E．根據(jù)切線的性質(zhì)得O₁D為⊙O₁的半徑，易得四邊形OO₁DC為矩形，則OC=O₁D，再根據(jù)垂徑定理得到AC=BC=$\frac{1}{2}$MN，在Rt△OEN中，利用勾股定理得到ON²-OE²=EN²=$\frac{1}{4}$a²，然后利用陰影部分的面積=$\frac{1}{2}$S_⊙C-$\frac{1}{2}$S_⊙O進(jìn)行計(jì)算．

解答 解：如圖，
作OE⊥MN于E．
∵大半圓的弦AB與小半圓相切，
∴CD為⊙C的半徑，
∴OC⊥MN，
又MN∥AB，
∴四邊形DCOE為矩形，
∴OE=CD，
∵OE⊥MN，
∴ME=NE=$\frac{1}{2}$MN=$\frac{1}{2}$a，
在Rt△OEN中，ON²-OE²=EN²=$\frac{1}{4}$a²，
∴陰影部分的面積=$\frac{1}{2}$S_⊙C-$\frac{1}{2}$S_⊙O=$\frac{1}{2}$（π•ON²-π•CD²）=$\frac{1}{2}$π（ON²-OE²）=$\frac{π}{8}$a²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓的切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑；經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)．運(yùn)用切線的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過(guò)作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問(wèn)題．