Question

6．如圖，矩形OABC的邊OA在x軸的負半軸上，邊OC在y軸的正半軸上，且OA=2OC，直線y=x+b過點C，并且交對角線OB于點E，交x軸于點D，反比例函數(shù)y=$\frac{a}{x}$過點E且交AB于點M，交BC于點N，連接MN、OM、ON，若△OMN的面積是$\frac{80}{9}$，則a+b=1．

Answer 1

分析 由直線y=x+b表示出C坐標，得出OC的長，進而表示出OA的長，確定出A與B坐標，進而表示出MA與CN的長，得出BM與BN的長，根據(jù)三角形OMN面積=矩形ABCO面積-三角形BMN面積-三角形OAM面積-三角形OCN面積，表示出三角形OMN面積，由已知面積列出a與b的方程，再由B的坐標確定出直線OB解析式，與已知直線聯(lián)立表示出E坐標，代入反比例解析式列出a與b的方程，聯(lián)立求出a與b的值，即可確定出a+b的值．

解答 解：對于直線y=x+b，令x=0，得到y(tǒng)=b；令y=0，得到x=-b，
∴C（0，b），即OC=b，
∴OA=2OC=2b，即A（-2b，0），
把x=-2b代入y=$\frac{a}{x}$中，得：y=-$\frac{a}{2b}$，即MA=-$\frac{a}{2b}$，
把y=b代入y=$\frac{a}{x}$中，得：x=$\frac{a}$，即CN=-$\frac{a}$，
∴BN=2b+$\frac{a}$，BM=b+$\frac{a}{2b}$，
∴S_△OMN=S_矩形ABCO-S_△BMN-S_△AOM-S_△CON=2b²-$\frac{1}{2}$（2b+$\frac{a}$）（b+$\frac{a}{2b}$）+$\frac{1}{2}$a+$\frac{1}{2}$a=$\frac{80}{9}$①，
∵B（-2b，b），
∴直線OB解析式為y=-$\frac{1}{2}$x，
與直線y=x+b聯(lián)立解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{2}{3}b}\\{y=\frac{1}{3}b}\end{array}\right.$，即E（-$\frac{2}{3}$b，$\frac{1}{3}$b），
把E代入反比例解析式得：-$\frac{2}{9}$b²=a，即b²=-$\frac{9}{2}$a②，
聯(lián)立①②解得：a=-2，b=3，
則a+b=-2+3=1．
故答案為：1

點評 此題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識有：一次函數(shù)與坐標軸的交點，兩直線的交點坐標，反比例函數(shù)k的幾何意義，矩形的性質(zhì)，坐標與圖形性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．