Question

16．已知直線y=x-4與x軸、y軸分別交于A、B兩點，點P（1，m）在直線AB上．
（1）在y軸上找一點M，使MP+MA最��；
（2）在x軸上找一點N，使PN最小．

Answer 1

分析 （1）作A點關于y軸的對稱點A′，連接PA′交y軸于M，此時MP+MA=MP+MA′=PA′，根據兩點之間線段最短可知此時MP+MA最小，求得A′、P的坐標，利用待定系數法即可求得直線PA′的解析式，進而求得M的坐標；
（2）作PN⊥x軸于N，根據垂線段最短可知PN最�。桓鶕�P的坐標即可求得N的坐標．

解答 解：（1）如圖，作A點關于y軸的對稱點A′，連接PA′交y軸于M，此時MP+MA=MP+MA′=PA′，根據兩點之間線段最短可知此時MP+MA最小，
∵點P（1，m）在直線AB上，
∴m=1-4=-3，
∴P（1，-3），
由直線y=x-4可知A（4，0），
∴A′（-4，0），
設直線PA′的解析式為y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k+b=-3}\\{-4k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{5}}\\{b=-\frac{12}{5}}\end{array}\right.$，
∴M（0，-$\frac{12}{5}$）．
（2）如圖，作PN⊥x軸于N，根據垂線段最短可知PN最��；
∵P（1，-3），
∴N（1，0）．

點評 本題考查了一次函數圖象上點的坐標特征，軸對稱-最短路線問題，兩點之間線段最短以及垂線段最短是解題的關鍵．