Question

5．已知平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax²-（a+1）x與直線y=kx的一個(gè)公共點(diǎn)為A（4，8）．
（1）求此拋物線和直線的解析式；
（2）若點(diǎn)P在線段OA上，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交（1）中拋物線于點(diǎn)Q，求線段PQ長(zhǎng)度的最大值．

Answer 1

分析 （1）由待定系數(shù)法可得出k和a；
（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，2t），則可得點(diǎn)Q的坐標(biāo)，從而求出PQ，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問(wèn)題得出最大長(zhǎng)度．

解答 解：（1）由題意，可得8=16a-4（a+1）及8=4k，
解得a=1，k=2，
所以，拋物線的解析式為y=x²-2x，直線的解析式為y=2x．

（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，2t）（0≤t≤4），可得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（t，t²-2t），
則PQ=2t-（t²-2t）=4t-t²=-（t-2）²+4，
所以，當(dāng)t=2時(shí)，PQ的長(zhǎng)度取得最大值為4．

點(diǎn)評(píng) 本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有拋物線的解析式、直線的解析式，以及二次函數(shù)的最值．在求有關(guān)最值問(wèn)題時(shí)要注意二次函數(shù)的頂點(diǎn)．