Question

14．如圖，AB分別是⊙O的直徑，AC是弦，DC是⊙O的切線，C為切點，AD⊥DC于點D．
（1）已知∠ACD=a，求∠AOC的大�。�
（2）求證：AC²=AB•AD．

Answer 1

分析 （1）由CD是⊙O的切線得到∠OCD=90°，即∠ACD+∠ACO=90°，利用OC=OA得到∠ACO=∠CAO，然后利用三角形的內(nèi)角和即可證明題目的結(jié)論；
（2）如圖，連接BC．由AB是直徑得到∠ACB=90°，然后利用已知條件可以證明在Rt△ACD∽Rt△ABC，接著利用相似三角形的性質(zhì)即可解決問題．

解答 證明：（1）∵CD是⊙O的切線，
∴∠OCD=90°，
即∠ACD+∠ACO=90°，①
∵OC=OA，
∴∠ACO=∠CAO，
∴∠AOC=180°-2∠ACO，即∠AOC+2∠ACO=180°，
兩邊除以2得：$\frac{1}{2}$∠AOC+∠ACO=90°，②
由①，②，得：∠ACD-$\frac{1}{2}$∠AOC=0，
即∠AOC=2∠ACD=2α；

（2）如圖，連接BC．
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ACD與Rt△ABC中，
∵∠AOC=2∠B，
∴∠B=∠ACD，
∴Rt△ACD∽Rt△ABC，
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$，即AC²=AB•AD，

點評 本題考查了圓的切線性質(zhì)，及相似三角形的知識．運用切線的性質(zhì)來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題．