Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線(xiàn)y=ax²+bx+3經(jīng)過(guò)點(diǎn)N（2，-5），過(guò)點(diǎn)N作x軸的平行線(xiàn)交此拋物線(xiàn)左側(cè)于點(diǎn)M，MN=6．則此拋物線(xiàn)的解析式為

 

；若此拋物線(xiàn)與y軸交于點(diǎn)C，在此拋物線(xiàn)上存在一點(diǎn)Q（x，y），使∠QMN=∠CNM，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征

專(zhuān)題：

分析：（1）根據(jù)MN平行x軸，MN=6，點(diǎn)N坐標(biāo)為（2，-5），可得出點(diǎn)M的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式即可；
（2）分兩種情況進(jìn)行討論，①點(diǎn)Q在MN上方，②點(diǎn)Q在MN下方，然后根據(jù)兩角相等，利用三角函數(shù)建立方程，解出x的值后檢驗(yàn)即可得出答案．

解答：解：（1）由題意得，MN平行x軸，MN=6，點(diǎn)N坐標(biāo)為（2，-5），
故可得點(diǎn)M坐標(biāo)為（-4，-5），
∵y=ax²+bx+3過(guò)點(diǎn)M（-4，-5）、N（2，-5），
∴可得

4a+2b+3=-5 16a-4b+3=-5

，
解得：

a=-1 b=-2

．
故此拋物線(xiàn)的解析式為y=-x²-2x+3．

（2）設(shè)存在點(diǎn)Q（x，-x²-2x+3），使得∠QMN=∠CNM，
①若點(diǎn)Q在MN上方，過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥MN，交MN于點(diǎn)H，
則QH=-x²-2x+3+5，MH=（x+4）、
故

QH

MH

=tan∠CNM=4，即-x²-2x+3+5=4（x+4）、
解得x₁=-2，x₂=-4（舍），
故可得點(diǎn)Q₁（-2，3）；
②若點(diǎn)Q在MN下方，
同理可得Q₂（6，-45）．
綜上使∠QMN=∠CNM，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-2，3）或（6，-45）．
故答案為y=-x²-2x+3．（-2，3）或（6，-45）．

點(diǎn)評(píng)：此題屬于二次函數(shù)的綜合題，涉及了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及三角函數(shù)的知識(shí)，注意要分類(lèi)討論，不要漏解，要求我們能將所學(xué)的知識(shí)融會(huì)貫通．