Question

平面直角坐標(biāo)中，對稱軸平行于y軸的拋物線經(jīng)過原點(diǎn)O，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，）；Rt△ABC的直角邊BC在x軸上，直角頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（，0），且BC=5，AC=3（如圖1）．

圖1 圖2

（1）求出該拋物線的解析式；

（2）將Rt△ABC沿x軸向右平移，當(dāng)點(diǎn)A落在（1）中所求拋物線上時(shí)Rt△ABC停止移動(dòng)．D（0，4）為y軸上一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為m，△DAB的面積為s．

①分別求出點(diǎn)B位于原點(diǎn)左側(cè)、右側(cè)（含原點(diǎn)O）時(shí)，s與m之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)自變量m的取值范圍（可在圖1、圖2中畫出探求）；

②當(dāng)點(diǎn)B位于原點(diǎn)左側(cè)時(shí)，是否存在實(shí)數(shù)m，使得△DAB為直角三角形?若存在，直接寫出m的值；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

（1）y=x2﹣3x；

（2）①當(dāng)點(diǎn)B位于原點(diǎn)左側(cè)時(shí)，S=m+10．（﹣4.5≤m＜0），

當(dāng)點(diǎn)B位于原點(diǎn)右側(cè)（含原點(diǎn)O）時(shí)，S=m+10．（0≤m＜﹣2），

②存在，m1=﹣1，m2=﹣4，m3=﹣4.4．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，﹣），利用頂點(diǎn)式求出即可；

（2）根據(jù)當(dāng)點(diǎn)B位于原點(diǎn)左側(cè)時(shí)以及當(dāng)點(diǎn)B位于原點(diǎn)右側(cè)（含原點(diǎn)O）時(shí)，分別分析即可得出答案．

試題解析：（1）由題意，設(shè)所求拋物線為y=a（x﹣3）2﹣．①

將點(diǎn)（0，0）代入①，得a=．

∴y=x2﹣3x；

（2）①當(dāng)點(diǎn)B位于原點(diǎn)左側(cè)時(shí)，如圖（1）：

S=S△OBD+S梯形OCAD﹣S△ABC=•4•（﹣m）+（4+3）（5+m）﹣=m+10．

∴S=m+10．（﹣4.5≤m＜0），

當(dāng)點(diǎn)B位于原點(diǎn)右側(cè)（含原點(diǎn)O）時(shí)，如圖（2）：

S=S梯形OCAD﹣S△OBD﹣S△ABC=（4+3）（5+m）﹣•4•m﹣=m+10．

∴S=m+10．（0≤m＜﹣2）；

②m1=﹣1，m2=﹣4，m3=﹣4.4．

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．