Question

如圖（1）所示：等邊△中，線段為其內(nèi)角平分線，過點(diǎn)的直線于交的延長線于.

（1）請你探究：，是否成立?

（2）請你繼續(xù)探究：若△為任意三角形，線段為其內(nèi)角平分線，請問一定成立嗎？并證明你的判斷.

（3）如圖（2）所示△中，，,,為上一點(diǎn)且，交其內(nèi)角角平分線與.試求的值.

Answer 1

解：（1）因?yàn)棣�ABC是等邊三角形，所以AB=BC=CA，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°。

又線段為∠BAC的平分線，∴BD=DC，∠BAD=∠DAC=30°

∴�！�……………………………………………………1分

∵，在RtΔAC₁B₁中，∠C₁AB₁=60°，

則∠B₁=30°，AB₁= 2A C₁……………………………2分

在RtΔAC₁ D中，同理：AD=2C₁D，又∠B₁AD=∠B₁=30°∴AD=DB₁。

。這兩個(gè)等式都成立；………………3分

    (2)可以判斷結(jié)論仍然成立，………………………………4分

證明如下： 如右圖所示ΔABC為任意三角形，過B點(diǎn)作BE∥AC交 AD的延長線于E點(diǎn)。

∵∠E=∠CAD=∠BAD

∴BE=AB

又∵ΔEBD∽ΔACD  ……………………………5分

∴

又∵BE=AB

∴即對任意三角形結(jié)論仍然成立.  …………………………6分                                           

﹙3﹚如圖所示，連結(jié)ED

∵AD為ΔABC的內(nèi)角角平分線

∴，，即，

又BE=AB-AE=，得……………………7分

∴，又∠B公共，

∴ΔBDE∽ΔBCA……………………8分

∴

∴∠DEB=∠CAB，

 ∴ DE∥AC

∴ΔDEF∽ΔACF      ……………………………9分

∴