Question

12．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O的半徑是5，點A為⊙O上一點，AB⊥x軸于點B，AC⊥y軸于點C，若四邊形ABOC的面積為12，寫出一個符合條件的點A的坐標(biāo)（3，4）．

Answer 1

分析 設(shè)點A坐標(biāo)為（x，y），由圓的半徑為5可得x²+y²=25，根據(jù)矩形的面積為xy=12或xy=-12，分情況分別解$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=25}\\{xy=12}\end{array}\right.$和$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=25}\\{xy=-12}\end{array}\right.$可得點A的坐標(biāo)．

解答 解：設(shè)點A坐標(biāo)為（x，y），
則AO²=x²+y²=25，
由xy=12或xy=-12，
當(dāng)xy=12時，
可得（x+y）²-2xy=25，即（x+y）²-24=25，
∴x+y=7或x+y=-7，
①若x+y=7，即y=7-x，代入xy=12得x²-7x+12=0，
解得：x=3或x=4，
當(dāng)x=3時，y=4；當(dāng)x=4時，y=3；
即點A（3，4）或（4，3）；
②若x+y=-7，則y=-7-x，代入xy=12得：x²+7x+12=0，
解得：x=-3或x=-4，
當(dāng)x=-3時，y=-4；當(dāng)x=-4時，y=-3；
即點A（-3，-4）或（-4，-3）；

當(dāng)xy=-12時，
可得（x+y）²-2xy=25，即（x+y）²+24=25，
∴x+y=1或x+y=-1，
③若x+y=1，即y=1-x，代入xy=-12得x²-x-12=0，
解得：x=-3或x=4，
當(dāng)x=-3時，y=4；當(dāng)x=4時，y=-3；
即點A（-3，4）或（4，-3）；
④若x+y=-1，則y=-1-x，代入xy=-12得：x²+x-12=0，
解得：x=3或x=-4，
當(dāng)x=3時，y=-4；當(dāng)x=-4時，y=3；
即點A（3，-4）或（-4，3）；
故答案為：（3，4），（答案不唯一）．

點評 本題主要考查坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，熟練掌握兩點的距離公式和解二元二次方程組是解題的關(guān)鍵．