Question

已知：如圖，在△ABC中，AD是△ABC的高，作∠DCE=∠ACD，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，點(diǎn)F是點(diǎn)C關(guān)于直線AE的對(duì)稱點(diǎn)，連接AF．
（1）求證：CE=AF；
（2）若CD=1，AD=

3

，且∠B=20°，求∠BAF的度數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：勾股定理,軸對(duì)稱的性質(zhì)

專題：

分析：（1）由于∠ADC=∠EDC=90°，∠DCE=∠ACD，根據(jù)等腰三角形的判定方法得到△ACE為等腰三角形，則AC=CE，由點(diǎn)F是點(diǎn)C關(guān)于AE的對(duì)稱點(diǎn)，根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)得到AD垂直平分FC，則AF=AC，則CE=AF；
（2）在Rt△ACD中，根據(jù)勾股定理得到：AC=

AD2+CD2

=2，所以CD=

1

2

AC，故∠DAC=30°；同理可得∠DAF=30°，所以∠BAF=90°-∠B-∠DAF=40°．

解答：（1）證明：∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC=∠EDC=90°，∠DCE=∠ACD，
∴△ACE為等腰三角形，
∴AC=CE，
又∵點(diǎn)F是點(diǎn)C關(guān)于AE的對(duì)稱點(diǎn)，
∴AF=AC，
∴CE=AF；

（2）解：在Rt△ACD中，CD=1，AD=

3

，根據(jù)勾股定理得到：AC=

AD2+CD2

=2，
∴CD=

1

2

AC，
∴∠DAC=30°．
同理可得∠DAF=30°，
在Rt△ABD中，∠B=20°，
∴∠BAF=90°-∠B-∠DAF=40°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理，軸對(duì)稱的性質(zhì)．如果兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線．