Question

16．如圖，在等腰Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D為AC上一點，沿BD折疊△ABC，使A點落在BC邊上的點E處，M為邊BC的中點，MN⊥BD與點H，N在AB邊上，連接NE交BD于點G，過點N作BD的平行線交AC于點F，下列結(jié)論：①AB=$\sqrt{2}$BN；②四邊形DFNG為平行四邊形；③△BMN∽△EDG；④AN=DF．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（　�。�

• A． 1個
• B． 2個
• C． 3個
• D． 4個

Answer 1

分析 ①根據(jù)題意可知BA=BE，BN=BM，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)進行計算，得到①正確；
②計算出BC、BE的關(guān)系和BA、BN的關(guān)系，根據(jù)平行線的判定，證明NE∥AC，得到②正確；
③根據(jù)題意分別求出，∠BNM、∠BMN的度數(shù)和∠DGE、∠GDE的度數(shù)，證明△BMN∽△EDG，得到③正確；
④根據(jù)角平分線的性質(zhì)用BN表示NA、NG，得到相等關(guān)系，證明④正確．

解答 證明：∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴BC=$\sqrt{2}$AB，
∵M為BC的中點，
∴2BM=$\sqrt{2}$AB，AB=$\sqrt{2}$BM，
∵∠NBH=∠MBH，BH⊥MN，
∴BN=BM，∴AB=$\sqrt{2}$BN，
∴①正確；
∵BE=BA，
∴BC=$\sqrt{2}$BE，
又∵AB=$\sqrt{2}$BN，
∴NE∥AC，又NF∥BD，
∴四邊形DFNG為平行四邊形，
∴②正確；
∵NE∥AC，
∴∠BNE=90°，
∵∠NBG=22.5°，
∴∠NGB=67.5°，
∴∠DGE=67.5°，
∵∠BED=90°，∠DBE=22.5°，
∴∠GDE=67.5°，
∵BM=BN，∠NBM=45°，
∴∠BNM=∠BMN=67.5°，
∴△BMN∽△EDG，
∴③正確；
∵BG平分∠NBE，
∴$\frac{BN}{BE}$=$\frac{NG}{EG}$，NG=（$\sqrt{2}-1$）NE，
AN=（$\sqrt{2}$-1）BN，
∵∠BNE=90°，∠NBM=45°，
∴NB=NE，
∴NA=NG，
又∵NG=DF，
∴AN=DF，
∴④正確．
故選：D．

點評 本題綜合考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、平行線的判定、相似三角形的判定和角平分線的性質(zhì)，綜合性強，難度較大，解答時，需要學(xué)生具有綜合運用知識的能力．