Question

7．四邊形ABCD是正方形（提示：正方形四邊相等，四個角都是90°）
（1）如圖1，若點G在BC邊上時（不與點B、C重合），連接AG，作BF⊥AG于點F，DE⊥AG于點E，求證：△ABF≌△DAE；
（2）直接寫出（1）中，線段EF與AF、BF的等量關系是BF+EF=AF；
（3）①如圖2，若點G在CD邊上時（不與點C、D重合），連接AG，作BF⊥AG于點F，DE⊥AG于點E，則圖中全等三角形是△ABF≌△DAE，線段EF與AF、BF的等量關系是AF+EF=BF；
②如圖3，若點G在CD延長線上任意一點，連接AG，作BF⊥AG于點F，DE⊥AG于點E，線段EF與AF、BF的等量關系是AE+BF=EF；
（4）若點G是BC延長線上任意一點，連接AG，作BF⊥AG于點F，DE⊥AG于點E，請畫圖、探究線段EF與AF、BF的等量關系．

Answer 1

分析 （1）首先證明∠BFA=∠DEA=90°，∠EAD=∠FBA，AD=AB，從而可證明兩個三角形全等；
（2）根據求得三角形對應邊相等可知BF=AE，然后根據AE+EF=AF即可得出結論；
（3）先證明△ABF≌△DAE，然后由全等三角形的性質進行證明即可；
（4）首先根據題意畫出圖形，然后再證明△ABF≌△DAE，由相似三角形的性質可證得：AF+EF=BF．

解答 證明：（1）∵DE⊥AG，BF⊥AG，
∴∠BFA=∠DEA=90°．
∵∠BAF+∠ABF=90°，∠BAF+∠EAD=90°，
∴∠EAD=∠FBA．
在△ABF和△DAE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BFA=∠DEA}\\{∠EAD=∠FBA}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△DAE．
（2）EF+BF=AF．
理由：∵△ABF≌△DAE，
∴AE=BF．
∵AE+EF=AF，
∴BF+EF=AF．
（3）①由（1）可知：△ABF≌△DAE，
∴AE=BF．
∵AF+EF=AE，
∴AF+EF=BF．
②∵BF⊥AG，DE⊥AG，
∴∠BFA=∠DEA=90°．
∵∠BAF+∠ABF=90°，∠BAF+∠EAD=90°，
∴∠EAD=∠FBA．
在△ABF和△DAE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BFA=∠DEA}\\{∠EAD=∠FBA}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△DAE．
∴FB=AE．
∵EF=AE+AF，
∴AF+BF=EF．
（4）如圖所示：

∵BF⊥AG，DE⊥AG，
∴∠BFA=∠DEA=90°．
∵∠BAF+∠ABF=90°，∠BAF+∠EAD=90°，
∴∠EAD=∠FBA．
在△ABF和△DAE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BFA=∠DEA}\\{∠EAD=∠FBA}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△DAE．
∴FB=AE．
∵AE=EF+AF，
∴AF+EF=BF．

點評 本題主要考查的是全等三角形的性質和判定，掌握全等三角形的判定定理是解題的關鍵．