Question

7．關于x的方程kx²+（k+3）x+$\frac{k}{4}$=0有兩個不相等的實數(shù)根．
（1）求k的取值范圍．
（2）是否存在實數(shù)k，使方程的兩個實數(shù)根的倒數(shù)和等于$\frac{28}{5}$？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)一元二次方程的定義和根的判別式得到k≠0且（k+3）²-4k•$\frac{k}{4}$＞0，然后求出兩個不等式的公共部分即可；
（2）假設存在實數(shù)k使方程的兩個實數(shù)根的倒數(shù)和等于$\frac{28}{5}$，利用根與系數(shù)的關系得出x₁+x₂=-$\frac{k+3}{k}$，x₁x₂=$\frac{1}{4}$，利用兩個實數(shù)根的倒數(shù)和等于$\frac{28}{5}$，得出方程的解，結合k的取值范圍判定即可．

解答 解：（1）∵關于x的方程kx²+（k+3）x+$\frac{k}{4}$=0有兩個不相等的實數(shù)根，
∴k≠0且△＞0，即（k+3）²-4k•$\frac{k}{4}$＞0，
∴k＞-1.5且k≠0．

（2）假設存在實數(shù)k使方程的兩個實數(shù)根的倒數(shù)和等于$\frac{28}{5}$，
∵x₁+x₂=-$\frac{k+3}{k}$，x₁x₂=$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}•{x}_{2}}$=-$\frac{4（k+3）}{k}$=$\frac{28}{5}$，
解得：k=-$\frac{5}{4}$，
∴存在實數(shù)k使方程的兩個實數(shù)根的倒數(shù)和等于$\frac{28}{5}$．

點評 本題考查了根與系數(shù)的關系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根時，x₁+x₂=-$\frac{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了根的判別式．