Question

2．如圖，△ABC中，CB=8，AB=6，AC=10，△ABC的內(nèi)切圓交 AC于點(diǎn)D，點(diǎn)P從D出發(fā)，沿射線DC每次前進(jìn)一個單位，點(diǎn)Q從D出發(fā)沿DA和射線AB每次前進(jìn)a個單位，a為正整數(shù)且1≤a＜5，當(dāng)t次前進(jìn)后△APQ與△ABC相似，所有滿足條件的t為8、16、32．

Answer 1

分析 首先在Rt△ABC中，根據(jù)AB=6，AC=10，BC=8，求出OD、AD的值各是多少；然后求出當(dāng)t次前進(jìn)后，點(diǎn)P前進(jìn)的距離是t，點(diǎn)Q前進(jìn)的距離是at，再分兩種情況：（1）當(dāng)∠APQ=90°時；（2）當(dāng)∠AQP=90°時；根據(jù)a為正整數(shù)且1≤a＜5，求出所有滿足條件的t的值即可．

解答 解：如圖，連接OD、OE、OF，
，
∵Rt△ABC中AB=6，AC=10，BC=8，
∴（AB+BC+AC）×OD÷2=AB×BC÷2，
∴OD=6×8÷（6+8+10）=48÷24=2，
設(shè)AD=x，
則CD=CE=10-x，
BE=BF=8-（10-x）=x-2，
AF=AD=6-（x-2）=8-x，
∴x=8-x，
解得x=4，
∴當(dāng)t次前進(jìn)后，點(diǎn)P前進(jìn)的距離是t，點(diǎn)Q前進(jìn)的距離是at，
（1）當(dāng)∠APQ=90°時，
∵△APQ與△ABC相似，
∴$\frac{AP}{AB}$=$\frac{AQ}{AC}$，
∴$\frac{AP}{AQ}$=$\frac{AB}{AC}$=$\frac{6}{10}$=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{t+4}{at-4}$=$\frac{3}{5}$，
整理，可得t=$\frac{32}{3a-5}$，
∵a為正整數(shù)且1≤a＜5，
∴a=2時，t=32；a=3時，t=8．
（2）當(dāng)∠AQP=90°時，
∵△APQ與△ABC相似，
∴$\frac{AQ}{AP}$=$\frac{AB}{AC}$，
∴$\frac{at-4}{t+4}$=$\frac{3}{5}$，
整理，可得t=$\frac{32}{5a-3}$，
∵a為正整數(shù)且1≤a＜5，
∴a=1時，t=16．
綜上，可得所有滿足條件的t為8、16、32．
故答案為：8、16、32．

點(diǎn)評 本題主要考查三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心、相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等和依據(jù)相似三角形的判定討論分類是解題的關(guān)鍵．