Question

17．為判斷命題“有三條邊相等且一組對(duì)角相等的四邊形是菱形”的真假，數(shù)學(xué)課上，老師給出菱形ABCD，并作出了一個(gè)四邊形ABC′D，具體作圖過(guò)程如下：如圖，在菱形ABCD中，
①連接BD，以點(diǎn)B為圓心，以BD的長(zhǎng)為半徑作圓弧，交CD于點(diǎn)P；
②分別以B、D為圓心，以BC、PC的長(zhǎng)為半徑作圓弧，兩弧交于點(diǎn)C′；
③連接BC′、DC′，得四邊形ABC′D．
依據(jù)上述作圖過(guò)程，解決以下問(wèn)題：
求證：∠A=∠C′；AD=BC′．

Answer 1

分析 連接BP，由菱形的性質(zhì)得出AD=BC，∠A=∠BCD，根據(jù)題意得出BC=B′C，BD=BP，DC′=PC，得出AD=BC′，由SSS證明△BPC≌△BDC′，得出對(duì)應(yīng)角相等∠BCD=∠C′，即可得出∠A=∠C′．

解答 證明：連接BP，如圖所示：
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD=BC，∠A=∠BCD，
根據(jù)題意得：BC=B′C，BD=BP，DC′=PC，
∴AD=BC′，
在△BPC和△BDC′中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=BC′}&{\;}\\{BP=BD}&{\;}\\{PC=DC′}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BPC≌△BDC′（SSS），
∴∠BCD=∠C′，
∴∠A=∠C′．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．