Question

已知：在△ABC中，∠C=90°，BC=AC．
（1）如圖（1），若點D、E分別在BC、AC邊上，且CD=CE，連接AD、BE，點O、M、N分別是AB、AD、BE的中點．求證：△OMN是等腰直角三角形；
（2）將圖（1）中△CDE繞著點C順時針旋轉90°如圖（2），O、M、N分別為AB、AD、BE中點，則（1）中的結論是否成立，并說明理由；
（3）如圖（3），若BC=AC=4，CD=CE=2，將圖（1）中△CDE繞著點C順時針旋轉，記旋轉角為α（0°＜a＜360°），O、M、N分別為AB、AD、BE中點，求在整個旋轉過程中線段MN的最大值，并寫出此時a的度數．

Answer 1

考點：幾何變換綜合題

專題：

分析：（1）先根據題意得出BD=AE，再由O、M、N分別為AB、AD、BE中點OM∥BD且OM=

1

2

BD，ON∥AE且ON=

1

2

AE，故可得出∠AOM=∠ABD=45°，∠BON=∠BAE=45°，由三角形內角和定理得出∠MON的度數，進而可得出結論；
（2）連接AE、BD，根據SAS定理得出△BCD≌△ACE，由全等三角形的性質得出BD=AE，∠CBD=∠CAE，根據O、M、N分別為AB、AD、BE中點，可知OM∥BD且OM=

1

2

BD，ON∥AE且ON=

1

2

AE，由三角形內角和定理即可得出結論；
（3）連接AE、BD，由（2）同理可證△OMN為等腰直角三角形．故MN=

2

OM．再由OM=

1

2

BD可知MN=

2

2

BD，所以當BD最大時線段MN最大，顯然，當△CDE繞著點C順時針旋轉180°，即α=180°時，BD最大，由此可得出MN的長．

解答：解：（1）∵BC=AC，CD=CE，
∴BD=AE，
∵O、M、N分別為AB、AD、BE中點，
∴OM∥BD且OM=

1

2

BD，ON∥AE且ON=

1

2

AE，
∴OM=ON，∠AOM=∠ABD=45°，∠BON=∠BAE=45°，
∴∠MON=180°-（∠AOM+∠BON）
=180°-（45°+45°）=90°
∴△OMN是等腰直角三角形．

（2）如圖2，連接AE、BD，
∵△CDE順時針旋轉90°，
∴∠ACE=∠ACB=90°，
在△BCD和△ACE中，

BC=AC ∠ACE=∠ACB=90° CD=CE

，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴BD=AE，∠CBD=∠CAE，
∵O、M、N分別為AB、AD、BE中點，
∴OM∥BD且OM=

1

2

BD，ON∥AE且ON=

1

2

AE，
∴OM=ON，∠AOM=∠ABD，∠BON=∠BAE，
∴∠MON=180°-（∠AOM+∠BON）=180°-（∠ABD+∠BAE）
=180°-（∠ABD+∠CBD+∠BAC）=180°-（∠ABC+∠BAC），
∵∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠BAC=180°-∠ACB=180°-90°=90°，
∴∠MON=180°-90°=90°，
∴△OMN是等腰直角三角形．

（3）如圖，連接AE、BD，由（2）同理可證△OMN為等腰直角三角形．
∴MN=

2

OM．
又∵OM=

1

2

BD，
∴MN=

2

2

BD，
∴當BD最大時線段MN最大，顯然，當△CDE繞著點C順時針旋轉180°，即α=180°時，
BD_最大=4+2=6，則MN_最大=

2

2

×6=3

2

．

點評：本題考查的是幾何變換綜合題，熟知等腰直角三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質等知識是解答此題的關鍵．