Question

已知：D為

AC

中點(diǎn)，BC為直徑
（1）求證：AC•BC=2BD•CD；
（2）若AE=3，CD=2

5

，求AB、BC．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),圓周角定理

專題：

分析：（1）如圖，作輔助線；證明CF=2CD；證明△BDC∽△CAF，得到

BC

CF

=

BD

AC

，根據(jù)CF=2CD，即可解決問(wèn)題．
（2）如圖，證明△ACF∽△DCE，列出比例式求出CE=5，此為解題的關(guān)鍵性結(jié)論；證明AB：BC=3：5，借助勾股定理即可解決問(wèn)題．

解答：（1）證明：如圖，延長(zhǎng)CD，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F；
∵D為

AC

中點(diǎn)，
∴

AD

=

DC

，AD=CD，∠ACD=∠DAC；
∵BC為直徑，
∴∠FAC=∠BDC=90°，
∴∠DAF=∠F，AD=DF；
∴CD=DF，CF=2CD；
∵∠FAD=∠BCD，
∴∠F=∠BCD；而∠FAC=∠BDC，
∴△BDC∽△CAF，
∴

BC

CF

=

BD

AC

，而CF=2CD，
∴AC•BC=2BD•CD．
（2）解：設(shè)CE=λ；則AC=3+λ，CF=2CD=4

5

；
∵∠CAF=∠EDC，∠ECD=∠DCE，
∴△ACF∽△DCE，
∴

CF

CE

=

AC

DC

，

4 5

λ

=

3+λ

2 5

，
整理得：λ²+3λ-40=0，
解得：λ=5或-8（舍去）；
∵D為

AC

中點(diǎn)，AB
∴∠ABE=∠CBE，即BE平分∠ABC，
∴

AB

BC

=

AE

EC

=

3

5

，設(shè)AB=3μ，則BC=5μ；
由勾股定理得：（3μ）²+8²=（5μ）²，
解得：μ=2，
∴AB=6，BC=10．

點(diǎn)評(píng)：該題主要考查了圓周角定理及其推論、相似三角形的判定及其性質(zhì)、勾股定理等幾何知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用問(wèn)題；對(duì)綜合的分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力提出了較高的要求．