Question

20．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E為DC延長線上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AE，交BC邊于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)BE．
（1）求證：AB•AD=BF•ED；
（2）若CD=CA，且∠DAE=90°，求證：四邊形ABEC是菱形．

Answer 1

分析 （1）由四邊形ABCD是平行四邊形得到∠ABC=∠D，AB∥CD，∠BAF=∠DEA，推出△ABF∽△EDA，于是即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)∠DAE=90°，得到∠AED+∠D=90°，∠EAC+∠DAC=90°，根據(jù)CD=CA，推出四邊形ABCD是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AB∥CD且AB=CD，證出四邊形ABEC是平行四邊形．由于CE=CA，推出四邊形ABEC是菱形．

解答 證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠ABC=∠D，AB∥CD，
∴∠BAF=∠DEA，
∴△ABF∽△EDA，
∴$\frac{AB}{DE}$=$\frac{BF}{AD}$，
∴AB•AD=BF•ED；

（2）∵∠DAE=90°，
∴∠AED+∠D=90°，∠EAC+∠DAC=90°，
∵CD=CA，
∴∠DAC=∠D，
∴∠AED=EAC，
∴CE=CA，
∴CE=CD．
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD且AB=CD，
∴AB∥EC且AB=EC，
∴四邊形ABEC是平行四邊形．
∵CE=CA，
∴四邊形ABEC是菱形．

點(diǎn)評 本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定，熟記定理是解題的關(guān)鍵．