Question

如圖，?ABCD中，∠DBC=45°，高線DE、BF交于點(diǎn)H，BF、AD的延長線交于點(diǎn)G；聯(lián)結(jié)AH．
（1）求證：BH=AB；
（2）求證：AH•BG=AG•BD．

Answer 1

考點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)已知利用AAS判定△BEH≌△DEC，從而得到BH=DC，由平行四邊形的性質(zhì)得DC=AB，則可以得到AB=BH；
（2）根據(jù)兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似得到△GDB∽△GHA，相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，所以AH•BG=AG•BD．

解答：（1）證明：
∵DE、BF是高，
∴∠BED=∠DEC=∠BFC=90°，
∴∠EBH+∠C=90°，∠EDC+∠C=90°∠DBC+∠EDB=90°
∴∠EDC=∠EBH，
∵∠DBC=45°，
∴∠EDB=∠DBC=45°，
∴BE=DE，
在△BEH與△DEC中，

∠EBH=∠EDC BE=DE ∠BED=∠DEC

，
∴△BEH≌△DECASA），
∴BH=DC，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，
∴BH=AB；                
（2）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，∠ADB=∠DBC=45°，
∴AB∥DC，
∴∠ABH=∠BFC=90°，
∵AB=BH，
∴∠BHA=∠BAH=45°，
∵∠GDB+∠ADB=180°，∠GHA+∠AHB=180°
∴∠GHA=∠GDB，
又∵∠G=∠G，
∴△GHA∽△GDB，
∴

GA

GB

=

AH

BD

，
即AH•BG=AG•BD．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．