Question

4．如圖，E、F分別是正方形ABCD的邊AB、BC上的點(diǎn)，且AE=BF，CE和DF相交于點(diǎn)O，有下列結(jié)論：
①CE=DF；②CE⊥DF；③CO=OE；④S_△C0D=S_{四邊形0EBF}．
其中正確的有（　�。�

• A． 4個(gè)
• B． 3個(gè)
• C． 2個(gè)
• D． 1個(gè)

Answer 1

分析 根據(jù)四邊形ABCD是正方形及AE=BF，可證出△BEC≌△CFD，則得到：①CE=DF，以及△BEC和△CFD的面積相等，得到；④S_△COD=S_{四邊形OEBF}；可以證出∠OFC+∠FCO=90°，則②CE⊥DF一定成立．錯(cuò)誤的結(jié)論是：③CO=OE．

解答 解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴CD=BC，
∵AE=BF，
∴BE=CF，
在△BEC與△CFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=CF}\\{∠EBC=∠FCD=90°}\\{BC=CD}\end{array}\right.$，
∴△BEC≌△CFD，
∴CE=DF（故①正確），S_△BEC=S_△CFD，∠BEC=∠DFC，∠BCE=∠FDC，
∵S_△COD=S_△CFD-S_△OFC，
S_{四邊形OEBF}=S_△BCE-S_△OFC，
∴S_△COD=S_{四邊形OEBF}（故④正確），
∵∠BEC+∠ECB=∠DFC+∠ECB=90°
∴∠DFC+∠ECB=90°
∴CE⊥DF一定成立（故②正確）．
假設(shè)CO=OE，
∵CE⊥DF（已證），
∴CF=EF（線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等），
∵在Rt△BEF中，EF＞BE，
∴EF＞CF，這與正方形的邊長EF=CFC相矛盾，
∴，假設(shè)不成立，CO≠OE（故③錯(cuò)誤）；
故選：B

點(diǎn)評 本題考查了正方形的四條邊都相等，每一個(gè)角都是直角的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，綜合題但難度不大，求出△BEC≌△CFD是解題的關(guān)鍵，也是本題的突破口．