Question

13．類似于平面直角坐標(biāo)系，如圖1，在平面內(nèi)，如果原點(diǎn)重合的兩條數(shù)軸不垂直，那么我們稱這樣的坐標(biāo)系為斜坐標(biāo)系．若P是斜坐標(biāo)系xOy中的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作兩坐標(biāo)軸的平行線，與x軸、y軸交于點(diǎn)M、N，如果M、N在x軸、y軸上分別對應(yīng)的實(shí)數(shù)是a、b，這時點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，b）．
（1）如圖2，在斜坐標(biāo)系xOy中，畫出點(diǎn)A（-2，3）；
（2）如圖3，在斜坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)B（5，0）、C（0，4），且P（x，y）是線段CB上的任意一點(diǎn)，則y與x之間的等量關(guān)系式為y=-$\frac{4}{5}$x+4；
（3）若（2）中的點(diǎn)P在線段CB的延長線上，其它條件都不變，試判斷（2）中的結(jié)論是否仍然成立，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）作AM∥y軸，AN∥x軸交于A，即刻得到結(jié)論；
（2）過點(diǎn)P分別作兩坐標(biāo)軸的平行線，與x軸、y軸交于點(diǎn)M、N，則 PN=x，PM=y；根據(jù)平行線截線段成比例分別列出關(guān)于x、y的比例式$\frac{PN}{OB}$=$\frac{CP}{CB}$、$\frac{PM}{OC}$=$\frac{BP}{BC}$；再由線段間的和差關(guān)系求得PC+BP=BC知$\frac{x}{4}$+$\frac{y}{3}$=$\frac{CP}{CB}+\frac{BP}{BC}$=1；
（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段BC的延長線上時，上述結(jié)論仍然成立．理由如下：這時 PN=-x，PM=y，證明過程同（2）．

解答 解：（1）在x軸上取一點(diǎn)M，使OM=2，在y軸上取一點(diǎn)N，使ON=3，如圖作AM∥y軸，AN∥x軸交于點(diǎn)A，
則點(diǎn)A即為所求；

（2）過點(diǎn)P分別作兩坐標(biāo)軸的平行線，與x軸、y軸交于點(diǎn)M、N，
則 PN=x，PM=y，
由PN∥OB，得$\frac{PN}{OB}$=$\frac{CP}{CB}$即$\frac{x}{5}$=$\frac{CP}{BC}$；
由PM∥OC，得$\frac{PM}{OC}$=$\frac{BP}{BC}$，即$\frac{y}{4}$=$\frac{PB}{BC}$；
∴$\frac{x}{5}$+$\frac{y}{4}$=$\frac{CP}{CB}+\frac{BP}{BC}$=1，
即 y=-$\frac{4}{5}$x+4；
故答案為：y=-$\frac{4}{5}$x+4；

（3）（2）中的結(jié)論仍然成立，如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在線段BC的延長線上時，上述結(jié)論仍然成立．理由如下：這時 PN=-x，PM=y，
與（2）類似，$\frac{-x}{5}=\frac{CP}{CB}$，$\frac{y}{4}$=$\frac{PB}{BC}$．
又∵$\frac{PB}{BC}$-$\frac{CP}{BC}$=1．
∴$\frac{y}{4}$-$\frac{-x}{5}$=1，即$\frac{x}{5}$+$\frac{y}{4}$=1．

點(diǎn)評 本題綜合考查了平行線截線段成比例、平行四邊形的判定與性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì)．解答本題時，是通過作輔助線構(gòu)建平行四邊形（或菱形）解答問題的．