Question

如圖所示，已知△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分線DM交AC于D，垂足為M．
（1）若∠CBD：∠CBA=4：7，求∠A；
（2）若CD=5，BC=12，求△ABC的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：線段垂直平分線的性質(zhì)

專題：

分析：（1）先根據(jù)∠CBD：∠CBA=4：7可設(shè)∠CBD=4x，則∠ABD=3x，再由DM是線段AB的垂直平分線得出AD=BD，故∠A=∠ABD，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
（2）先根據(jù)勾股定理求出BD的長(zhǎng)，再由線段垂直平分線的性質(zhì)得出AD的長(zhǎng)，由三角形的面積公式即可得出結(jié)論．

解答：解：（1）∵∠CBD：∠CBA=4：7，
∴設(shè)∠CBD=4x，則∠ABD=3x．
∵DM是線段AB的垂直平分線，
∴AD=BD，
∴∠A=∠ABD=3x，
∵∠C=90°，
∴∠CBA+∠A=90°，即7x+3x=90°，解得x=（

9

10

）°，
∴∠A=3x=（

27

10

）°；

（2）∵CD=5，BC=12，
∴BD=

122+52

=13．
∵DM是線段AB的垂直平分線，
∴AD=BD=13，
∴S_△ABC=

1

2

BC•AC=

1

2

×12×（12+5）=102．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)，熟知線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等是解答此題的關(guān)鍵．