Question

12．已知P是⊙O外的一點(diǎn)，且PA、PB是⊙O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B，OP交AB于點(diǎn)C，OP=5，cos∠APC=$\frac{4}{5}$．
（1）求⊙O的半徑；
（2）求弦AB的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由PA為圓O的切線，利用切線的性質(zhì)得到三角形AOP為直角三角形，根據(jù)sin∠APC的值得出sin∠APO的值，利用銳角三角函數(shù)定義及OP的長(zhǎng)求出OA的長(zhǎng)，即為圓的半徑；
（2）根據(jù)PA、PB是⊙O的兩條切線，得到PA=PB，由于OA=OB，推出OP垂直平分AB，根據(jù)三角形的面積公式即可求解．

解答 解：（1）∵PA、PB是⊙O的兩條切線，
∴∠PAO=90°，
∵cos∠APC=$\frac{4}{5}$，OP=5，
∴AP=4，
∴OA=3；

（2）∵PA、PB是⊙O的兩條切線，
∴PA=PB，∵OA=OB，
∴OP垂直平分AB，
∵AC=$\frac{OA•AP}{OP}$=$\frac{12}{5}$，
∴AB=2AC=$\frac{24}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了切線的性質(zhì)，切線長(zhǎng)定理，以及解直角三角形，熟練掌握切線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．