Question

10．在平面直角坐標系中，直線y=-$\frac{3}{4}$x+6分別與x軸、y軸交于點A，B．當點P在線段AB（點P不與A，B重合）上運動時，在坐標系內(nèi)存在一點N，使得以O，B，P，N為頂點的四邊形為菱形．請直接寫出N點坐標（-4，3），（$\frac{144}{25}$，$\frac{192}{25}$），（$\frac{24}{5}$，-$\frac{18}{5}$）．

Answer 1

分析 分三種情況討論：以OB為菱形OPBN的對角線，以PB為菱形OPBN的對角線，以OP為菱形BPNO的對角線，分別根據(jù)菱形的性質(zhì)以及一次函數(shù)圖象上點的坐標特征進行計算，即可得到N點坐標．

解答 解：∵直線y=-$\frac{3}{4}$x+6分別與x軸、y軸交于點A，B，
∴A（8，0），B（0，6）．
分三種情況：
①如圖所示，以OB為菱形OPBN的對角線，點P與點N關于OB對稱，

由BP=OP可得，∠PBO=∠POB，
根據(jù)∠PBO+∠PAO=∠POB+∠POA=90°，可得∠POA=∠PAO，
∴PO=PA，
∴P是AB的中點，即P（4，3），
∴N（-4，3）；
②如圖所示，以PB為菱形OPBN的對角線，設P（n，-$\frac{3}{4}$n+6），

∵四邊形OPNB為菱形，B（0，6），
∴OP=OB=6=$\sqrt{{n}^{2}+（-\frac{3}{4}n+6）^{2}}$，
解得：n=$\frac{144}{25}$或n=0（舍去），
∴點P（$\frac{144}{25}$，$\frac{42}{25}$），
∴點N（$\frac{144}{25}$，6+$\frac{42}{25}$），即N（$\frac{144}{25}$，$\frac{192}{25}$）；
③如圖所示，以OP為菱形BPNO的對角線，設P（m，-$\frac{3}{4}$m+6）

∵四邊形ONPB為菱形，B（0，6），
∴BP=OB=6=$\sqrt{{m}^{2}+（-\frac{3}{4}m+6-6）^{2}}$，
解得m=$\frac{24}{5}$，
∴P（$\frac{24}{5}$，$\frac{12}{5}$），
∴N（$\frac{24}{5}$，$\frac{12}{5}$-6），即N（$\frac{24}{5}$，-$\frac{18}{5}$），
綜上所述，N點坐標為（-4，3），（$\frac{144}{25}$，$\frac{192}{25}$），（$\frac{24}{5}$，-$\frac{18}{5}$）．
故答案為：（-4，3），（$\frac{144}{25}$，$\frac{192}{25}$），（$\frac{24}{5}$，-$\frac{18}{5}$）．

點評 本題主要考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征以及菱形的判定的運用，解決問題的關鍵是依據(jù)題意畫出圖形，進行分類討論．解題時注意菱形的四條邊都相等．