Question

7．如圖，在矩形ABCD中，AB=8cm，BC=20cm，E是AD的中點(diǎn)．動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿A-B-C路線(xiàn)以1cm/秒的速度運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．將△APE以EP為折痕折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為M．

（1）如圖（1），當(dāng)點(diǎn)P在邊AB上，且點(diǎn)M在邊BC上時(shí)，求運(yùn)動(dòng)時(shí)間t；
（2）如圖（2），當(dāng)點(diǎn)P在邊BC上，且點(diǎn)M也在邊BC上時(shí)，求運(yùn)動(dòng)時(shí)間t；
（3）直接寫(xiě)出點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中線(xiàn)段BM長(zhǎng)的最小值2$\sqrt{41}$-10．

Answer 1

分析 （1）作EF⊥BC于F，證明△PBM∽△MFE，求出BM=$\frac{4}{5}$t，根據(jù)勾股定理求出t；
（2）證明四邊形APME為菱形，得到AP=10，由勾股定理求出t；
（3）根據(jù)題意得到當(dāng)點(diǎn)M在線(xiàn)段BE上時(shí)，BM最小，根據(jù)勾股定理求出BM的最小值．

解答 解：（1）如圖1，作EF⊥BC于F，
AP=t，則PB=8-t，PM=t，EF=AB=8，
∵∠B=∠PME=∠EFM=90°，
∴△PBM∽△MFE，
∴$\frac{BM}{PM}$=$\frac{EF}{EM}$，
BM=$\frac{4}{5}$t，
在Rt△PBM中，PB²+BM²=PM²，
（8-t）²+（$\frac{4}{5}$t）²=t²，
解得：t=5；
（2）由題意可知，
∠APE=∠MPE，∠AEP=∠MEP，
∵BC∥AD，
∴∠MPE=∠AEP，
∴四邊形APME為菱形，
∴AP=AE=10，
在Rt△ABP中，AB²+BP²=PA²，
即8²+（t-8）²=10²，
解得：t₁=2（不合題意），t₂=14；
（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)M在線(xiàn)段BE上時(shí)，BM最小，
∵AB=8，AE=10，
由勾股定理，BE=2$\sqrt{41}$，
BM=2$\sqrt{41}$-10．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是矩形的性質(zhì)和圖形折疊問(wèn)題，正確運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)，用t表示出有關(guān)的線(xiàn)段，根據(jù)勾股定理列出算式是解題的關(guān)鍵，要求學(xué)生學(xué)會(huì)用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)分析問(wèn)題．