Question

1．如圖所示，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，且AE⊥BC，AF⊥CD，
（1）求證：AB=AD；
（2）請(qǐng)你探究，當(dāng)AB與BC和CD之間有什么關(guān)系時(shí)，△AEF為等邊三角形，并證明．

Answer 1

分析 （1）連接AC，由已知條件可得△ABC為等腰三角形；△ACD為等腰三角形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)：兩腰相等即可證得AB=AD；
（2）連接EF，由△AEF為等邊三角形，可得∠AEF=∠AFE=60°，易得EC=FC，利用全等三角形的判定定理可得Rt△AEC≌Rt△AFC，易得∠EAC=∠FAC=30°，由等腰三角形的性質(zhì)可得∠BAE=∠CAE=∠FAC=∠FAD=30°，易得△ABC與△ADC均為等邊三角形，得出結(jié)論．

解答 （1）證明：連接AC，
∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，且AE⊥BC，
∴△ABC為等腰三角形，
∴AB=AC，
同理可得：AC=AD，
∴AB=AD；

（2）解：當(dāng)AB=BC=CD時(shí)，△AEF為等邊三角形；
連接EF，
∵△AEF為等邊三角形，
∴∠AEF=∠AFE=60°，
∴∠FEC=∠EFC=30°，
∴EC=FC，
在Rt△AEC與Rt△AFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AC}\\{EC=FC}\end{array}\right.$，
∴Rt△AEC≌Rt△AFC，
∴∠EAC=∠FAC=30°，
∵△ABC與△ADC均為等腰三角形，AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠BAE=∠CAE=∠FAC=∠FAD=30°，
∴∠BAC=60°，
∴△ABC與△ADC均為等邊三角形，
∴AB=BC=CD，
∴當(dāng)AB=BC=CD時(shí)，△AEF為等邊三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等腰三角形和全等三角形及等邊三角形的判定和性質(zhì)定理，作出恰當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)建全等三角形是解答此題的關(guān)鍵．