Question

已知△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D為BC中點，F(xiàn)，E為AC上兩點，連接BE，DF交于△ABC內一點G，且∠EGF=45°．
（1）若E為AC上任意一點，連接AG，求證：∠EAG=∠ABE．
（2）若E為AC中點，則EF：FD=

 

．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質

專題：

分析：（1）如圖，連接AD，證明A、B、D、G四點共圓，即可解決問題．
（2）如圖，連接DE；證明AF=2EF=2λ；證明DE=3λ；證明∠DEF=90°，求出DF=

10

λ，即可解決問題．

解答：解：（1）如圖，連接AD；
∵∠A=90°，AB=AC，D為BC中點，
∴∠ADB=90°，DA=DB；
∴∠DAB=∠ABD=45°；
∵∠BGD=∠EGF=45°，
∴A、B、D、G四點共圓，
∴∠AGB=∠ADB=90°，
即AG⊥BE；
∴∠ABE+∠BAG=∠BAG+∠EAG，
∴∠EAG=∠ABE．
（2）如圖，連接DE；
∵∠AGE=90°，∠EGF=45°，
∴∠AGF=∠EGF=45°，
∴AF：EF=AG：EG；
∵∠BAE=∠AGE=90°，∠EAG=∠ABE，
∴△ABE∽△GAE，
∴AB：AE=AG：GE=2：1，
∴AF=2EF（設EF為λ）；
∵點E為AC的中點，
∴AB=AC=6λ；
∵點D、E分別為BC、AC的中點，
∴DE∥AB，DE=

1

2

AB=3λ，
∴∠DEF=90°；
由勾股定理得：DF²=EF²+DE²=10λ²，
∴DF=

10

λ，
EF：DF=λ：

10

λ=1：

10

，
故答案為1：

10

．

點評：該題主要考查了相似三角形的判定及其性質的應用問題；解題的關鍵是靈活運用有關定理來分析、判斷、推理或解答；對綜合的分析問題解決問題的能力提出了較高的要求．