Question

15．如圖1，y=-x+6與坐標軸交于A、B兩點，點C在x軸負半軸上，_△OBC=$\frac{1}{3}$S_△AOB．

（1）求直線BC的解析式；
（2）直線EF：y=kx-k交AB于E點，與x軸交于D點，交BC的延長線于點F，且S_△BED=S_△FBD，求k的值；
（3）如圖2，M（2，4），點P為x軸上一動點，AH⊥PM，垂足為H點．取HG=HA，連CG，當P點運動時，∠CGM大小是否變化，并給予證明．

Answer 1

分析 （1）先求出A、B兩點的坐標，再根據(jù)S_△OBC=$\frac{1}{3}$S_△AOB可得出C點坐標，利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式即可；
（2）根據(jù)S_△BED=S_△FBD得出D為EF的中點，再用k表示出D點坐標，由點D在x軸上可得出k的值，進而得出D點坐標；
（3）連接CM，AM，AG，根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出△ACM是等腰直角三角形．再由AH⊥PM，HG=HA得出△AHG是等腰直角三角形，故可得出△ACM∽△AHG，再根據(jù)∠CAM=GAH=45°可知∠CAG=∠MAH，故可得出△MAH∽△CAG，所以∠GCA=∠AMH，A，C，M，G四點共圓，由此可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵y=-x+6與坐標軸交于A、B兩點，
∴A（6，0），B（0，6），
∴AO=BO=6．
∵S_△OBC=$\frac{1}{3}$S_△AOB，
∴AO=3OC=6，
∴CO=2．
∴（-2，0）．
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），
∴$\left\{\begin{array}{l}b=6\\-2k+b=0\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}k=3\\ b=6\end{array}\right.$，
∴直線BC的解析式為y=3x+6；

（2）∵S_△BED=S_△FBD，
∴D為EF的中點．
∵直線的解析式為y=kx-k，直線BC的解析式為y=3x+6，
∴$\left\{\begin{array}{l}y=kx-k\\ y=3x+6\end{array}\right.$，
∴F（$\frac{k+6}{k-3}$，$\frac{3k+18}{k-3}$+6）；
同理，∵直線AB的解析式為y=-x+6，
∴$\left\{\begin{array}{l}y=kx-k\\ y=-x+6\end{array}\right.$，
∴E（$\frac{k+6}{k+1}$，-$\frac{k+6}{k+1}$+6）．
由中點坐標公式得，$\left\{\begin{array}{l}{（\frac{k+6}{k-3}+\frac{k+6}{k+1}）×\frac{1}{2}=x}\\{（\frac{3k+18}{k-3}+6-\frac{k+6}{k+1}+6）×\frac{1}{2}=y=0}\end{array}\right.$，解得k=$\frac{3}{7}$，x=1，
∴D（1，0），k的值為$\frac{3}{7}$．

（3）不變化．
如圖2，連接CM，AM，AG，
∵C（-2，0），M（2，4），A（6，0），
∴AC²=（6+2）²=64，CM²=（2+2）²+4²=32，AM²=（6-2）²+4²=32，
∴△ACM是等腰直角三角形．
∵AH⊥PM，HG=HA，
∴△AHG是等腰直角三角形，
∴△ACM∽△AHG，
∴$\frac{AM}{AH}$=$\frac{AC}{AG}$．
∵∠CAM=GAH=45°
∴∠CAG=MAH
∵$\frac{AM}{AC}$=$\frac{AH}{AG}$，
∴△MAH∽△CAG，
∴∠GCA=∠AMH，
∴A，C，M，G四點共圓，
∴∠CGM=∠CAM=45°．

點評 本題考查的是一次函數(shù)綜合題，涉及到一次函數(shù)圖象上點的坐標特點、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理的逆定理等知識，難度較大．