Question

17．如圖1，已知平行四邊形ABCD頂點A的坐標為（2，6），點B在y軸上，且AD∥BC∥x軸，過B，C，D三點的拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點坐標為（2，2），點F（m，6）是線段AD上一動點，直線OF交BC于點E．

（1）求拋物線的表達式；
（2）設四邊形ABEF的面積為S，請求出S與m的函數關系式，并寫出自變量m的取值范圍；
（3）如圖2，過點F作FM⊥x軸，垂足為M，交直線AC于P，過點P作PN⊥y軸，垂足為N，連接MN，直線AC分別交x軸，y軸于點H，G，試求線段MN的最小值，并直接寫出此時m的值．

Answer 1

分析 （1）根據平行四邊形的性質和拋物線的特點確定出點D，然而用待定系數法確定出拋物線的解析式．
（2）根據AD∥BC∥x軸，且AD，BC間的距離為3，BC，x軸的距離也為3，F（m，6），確定出E（$\frac{m}{2}$，3），從而求出梯形的面積．
（3）方法一、先求出直線AC解析式，然后根據FM⊥x軸，表示出點P（m，-$\frac{3}{2}$m+9），最后根據勾股定理求出MN=$\sqrt{\frac{13}{4}（m-\frac{54}{13}）^{2}+\frac{324}{13}}$，從而確定出MN最小值和m的值．
方法二、由題意知，四邊形NOMP為矩形，MN=OP，所以當OP⊥GH時，OP最短，即為MN最短．然后利用三角形等面積法求出OP最小值．

解答 解：（1）∵過B，C，D三點的拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點坐標為（2，2），
∴點C的橫坐標為4，BC=4，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AD=BC=4，
∵A（2，6），
∴D（6，6），
設拋物線解析式為y=a（x-2）²+2，
∵點D在此拋物線上，
∴6=a（6-2）²+2，
∴a=$\frac{1}{4}$，
∴拋物線解析式為y=$\frac{1}{4}$（x-2）²+2=$\frac{1}{4}$x²-x+3，
（2）∵AD∥BC∥x軸，且AD，BC間的距離為3，BC，x軸的距離也為3，F（m，6）
∴E（$\frac{m}{2}$，3），
∴BE=$\frac{m}{2}$，
∴S=$\frac{1}{2}$（AF+BE）×3=$\frac{1}{2}$（m-2+$\frac{m}{2}$）×3=$\frac{9}{4}$m-3
∵點F（m，6）是線段AD上，
∴2＜m≤6，
即：S=$\frac{9}{4}$m-3（2＜m≤6）
（3）方法一、∵拋物線解析式為y=$\frac{1}{4}$x²-x+3，
∴B（0，3），C（4，3），
∵A（2，6），
∴直線AC解析式為y=-$\frac{3}{2}$x+9，
∵FM⊥x軸，垂足為M，交直線AC于P
∴P（m，-$\frac{3}{2}$m+9），（2＜m≤6）
∴PN=m，PM=-$\frac{3}{2}$m+9，
∵FM⊥x軸，垂足為M，交直線AC于P，過點P作PN⊥y軸，
∴∠MPN=90°，
∴MN=$\sqrt{P{N}^{2}+P{M}^{2}}$=$\sqrt{{m}^{2}+（-\frac{3}{2}m+9）^{2}}$=$\sqrt{\frac{13}{4}（m-\frac{54}{13}）^{2}+\frac{324}{13}}$
∵2＜m≤6，
∴當m=$\frac{54}{13}$時，MN_最小=$\sqrt{\frac{324}{13}}$=$\frac{18\sqrt{13}}{13}$．
方法二、∵拋物線解析式為y=$\frac{1}{4}$x²-x+3，
∴B（0，3），C（4，3），
∵A（2，6），
∴直線AC解析式為y=-$\frac{3}{2}$x+9，
∴G（0，9），H（6，0），
∴GH=3$\sqrt{13}$，
由題意知，四邊形NOMP為矩形，
∴MN=OP，
∴當OP⊥GH時，OP最短，即為MN最短，
∵S_△GOH=$\frac{1}{2}$OG•OH=$\frac{1}{2}$GH•OP_最小，
∴9×6=3$\sqrt{13}$×OP_最小，
∴OP_最小=$\frac{18\sqrt{13}}{13}$，
即：MN最小為$\frac{18\sqrt{13}}{13}$．

點評 此題是二次函數綜合題，主要考查了待定系數法求函數解析式，平行四邊形的性質，三角形面積的計算方法，勾股定理的運用，解本題的關鍵是確定出點D的坐標，