Question

已知AB是圓O的直徑，AP是圓O的切線，A是切點(diǎn)，BP與交于點(diǎn)C．
（1）如圖1，若AB=2，∠P=30°，求AP、AC、CP的長
（2）如圖2，若D為AP的中點(diǎn)，求證：直線CD是圓O的切線．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）易證PA⊥AB，再通過解直角三角形求解；
（2）本題連接OC，證出OC⊥CD即可．首先連接AC，得出直角三角形ACP，根據(jù)直角三角形斜邊上中線等于斜邊一半得CD=AD，再利用等腰三角形性質(zhì)可證∠OCD=∠OAD=90°，從而解決問題．

解答：解：（1）如圖1，連接AC．
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°．
又∵AB是⊙O的直徑，AP是切線，
∴∠BAP=90°．
∴∠BAC=∠P=30°（同角的余角相等）．
在Rt△PAB中，AB=2，∠P=30°，
∴BP=2AB=2×2=4．BC=

1

2

AB=1，
由勾股定理，得AC=

AB2-BC2

=

3

，AP=

BP2-AB2

=2

3

．  
則CP=BP-BC=4-1=3；

（2）如圖，連接OC、AC．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠BCA=90°，
又∵∠ACP=180°-∠BCA=90°．
在Rt△APC中，D為AP的中點(diǎn)，
∴CD=

1

2

AP．
∴∠4=∠3．
又∵OC=OA，
∴∠1=∠2．
∵∠2+∠4=∠PAB=90°，
∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°．
即OC⊥CD．
∴直線CD是⊙O的切線．

點(diǎn)評：本題綜合考查了圓周角定理、切線的判定與性質(zhì)．注意掌握輔助線的作法．