Question

19．如圖，在直角坐標系中，點A的坐標是（0，2），點B是x軸上的一個動點，始終保持△ABC是等邊三角形（點A、B、C按逆時針排列），當點B運動到原點O處時，則點C的坐標是（$\sqrt{3}$，1）．隨著點B在x軸上移動，點C也隨之移動，則點C移動所得圖象的解析式是y=$\sqrt{3}$x-2．

Answer 1

分析 如圖，過點C′作C′E⊥y軸，C′F⊥x軸于點F，依題意得C′F=1，利用勾股定理求出OF，然后可得點C的坐標；根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)易求點C移動到y(tǒng)軸上的坐標是（0，-2），所以根據(jù)這兩個點的坐標易求點C移動所得圖象的解析式．

解答 解：如圖，過點C′作C′F⊥x軸于點F，
∵△AOC′是等邊三角形，OA=2，
∴C′F=1．
在Rt△OC′F中，
由勾股定理，得OF=$\sqrt{O{C}^{2}-C{F}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$．
∴點C′的坐標為（$\sqrt{3}$，1）．
∵△AOC′與△ABC都是等邊三角形，
∴AO=AC′，AB=AC，∠BAC=∠OAC′=60°，
∴∠BAC-∠OAC=∠OAC′-∠OAC，
∴∠BAO=∠CAC′，
在△AOB與△AC′C中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=AC′}\\{∠BAO=∠CAC′}\\{AB=AC}\end{array}\right.$
∴△AOB≌△AC′C（SAS）．
∴∠BOA=∠CC′A=90°，
∴點C在過點C′且與AC垂直的直線上，
∵點A的坐標是（0，2），△ABC是等邊三角形，
∴點C移動到y(tǒng)軸上的坐標是（0，-2），
設點C所在的直線方程為：y=kx+b（k≠0）．把點（$\sqrt{3}$，1）和（0，-2）分別代入，得$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}k+b=1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
解得 $\left\{\begin{array}{l}{k=\sqrt{3}}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
所以點C移動所得圖象的解析式是為：y=$\sqrt{3}$x-2．
故答案為（$\sqrt{3}$，1），y=$\sqrt{3}$x-2．

點評 本題綜合考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，旋轉的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)等知識．求得點C位于y軸負半軸上的坐標是解題的關鍵．