Question

8．已知點(diǎn)A（2，0），點(diǎn)B（1，0），P是直線y=x上一動(dòng)點(diǎn)，連接PA，PB，若PA+PB的值最小時(shí)，P點(diǎn)的坐標(biāo)是（$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}$）．

Answer 1

分析 先作出點(diǎn)B關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)B′，再連接AB′，求出直線A′B的函數(shù)解析式，再聯(lián)立直線y=x列方程組即可求解．

解答 解：如圖，作點(diǎn)B關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)B′，
則PB=PB′，
故PA+PB=PB′+PA，
由圖知，只有當(dāng)A、P、B′共線時(shí)，PA+PB最小，
又由B與B′關(guān)于y=x對(duì)稱知，B′（0，1），
由A、B′兩點(diǎn)坐標(biāo)得AB′的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+1，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x+1}\\{y=x}\end{array}\right.$，
解得x=y=$\frac{2}{3}$，
故當(dāng)PA+PB最小時(shí)，P的坐標(biāo)為（$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}$）．
故答案為（$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查軸對(duì)稱--最短路線問題，綜合運(yùn)用了一次函數(shù)和方程組的知識(shí)，兩點(diǎn)之間線段最短是解題的關(guān)鍵．