Question

如圖所示，AD是∠BAC的平分線，P為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且PA=PD．求證：PA與⊙O相切．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定

專題：證明題

分析：利用圓周角定理進(jìn)而得出∠EBA=90°，再利用角平分線的性質(zhì)以及外角的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)求出∠1=∠ABC，以及∠CAE+∠1=90°，進(jìn)而得出答案．

解答：解：連接AO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)E，連接BE，
∵AE為⊙O的直徑，
∴∠EBA=90°，
∵PA=PD，
∴∠1+∠CAD=∠2，
∵AD是∠BAC的平分線，
∴∠BAD=∠DAC，
∵∠ABD+∠BAD=∠2，
∴∠1=∠ABC，
∵∠CBE=∠EAC，∠ABC+∠CBE=90°，
∴∠CAE+∠1=90°，
∴PA與⊙O相切．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了切線的判定以及圓周角定理以及三角形外角的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，得出∠1=∠ABC是解題關(guān)鍵．