Question

20．如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)y=$\frac{1}{2}$x+1的圖象與x軸交于點A，與y軸交于點C，與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的圖象交于B，D兩點，且AC=BC．
（1）寫出點A，B的坐標為：A（-2，0），B（2，2）
（2）求出點D的坐標，并直接寫出當反比例函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值時對應x的取值范圍；
（3）若P是x軸上一點，PM⊥x軸交一次函數(shù)于點M，交反比例函數(shù)于點N，當O，C，M，N為頂點的四邊形為平行四邊形時，求點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）首先求出一次函數(shù)與坐標軸的交點，進而利用相似三角形的判定與性質得出B點坐標，進而得出答案；
（2）首先求出反比例函數(shù)解析式，進而得出D點坐標，再利用函數(shù)圖象得出x的取值范圍；
（3）利用平行四邊形的性質，進而表示出MN的長，再解方程得出a的值，即可得出P點坐標．

解答 解：（1）如圖1，過點B作BE⊥x軸于點E，
∵一次函數(shù)y=$\frac{1}{2}$x+1的圖象與x軸交于點A，與y軸交于點C，
∴當x=0時，y=1；當y=0時，x=-2，
故A（-2，0），C（0，1），
∵∵CO⊥x軸于點O，BE⊥x軸于點E，
∴CO∥BE，
∴△AOC∽△AEB，
∵AC=BC，
∴AO=OE=2，
即B點橫坐標為：2，
則y=$\frac{1}{2}$×2+1=2，
故B（2，2）；
故答案為：（-2，0），（2，2）；

（2）∵B（2，2），
∴把B點代入y=$\frac{k}{x}$（k≠0），
解得：xy=4，
即y=$\frac{4}{x}$，
將y=$\frac{1}{2}$x+1與y=$\frac{4}{x}$聯(lián)立可得：
x₁=2，x₂=-4，則y₁=2，y₂=-1，
故D點坐標為：（-4，-1），
如圖1所示：當反比例函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值時對應x的取值范圍為：0＜x＜2或x＜-4；

（3）如圖2，由題意可得：CO∥MN，只有CO=MN時，O，C，M，N為頂點的四邊形為平行四邊形，
當P點在B點右側或D點右側時，設P（a，0），則N（a，$\frac{4}{a}$），M（a，$\frac{1}{2}$a+1），
故MN=$\frac{1}{2}$a+1-$\frac{4}{a}$=CO=1，
解得：a=±2$\sqrt{2}$，
當P點在B點左側或D點左側時，設P（a，0），則N（a，$\frac{4}{a}$），M（a，$\frac{1}{2}$a+1），
故MN=$\frac{4}{a}$-（$\frac{1}{2}$a+1）=CO=1，
解得：a=-2+2$\sqrt{3}$或-2-2$\sqrt{3}$，
綜上所述：P點坐標為：（2$\sqrt{2}$，0），（-2$\sqrt{2}$，0），（-2+2$\sqrt{3}$，0），（-2-2$\sqrt{3}$，0）．

點評 此題主要考查了反比例函數(shù)綜合以及相似三角形的判定與性質以及一元二次方程的解法等知識，正確表示MN的長是解題關鍵．