Question

如圖，拋物線y=-x²+bx+c 與x軸交與點(diǎn)A（1，0）與點(diǎn)B，且過點(diǎn)C（0，3），
（1）求該拋物線的解析式；
（2）在（1）中的拋物線上的第二象限上是否存在一點(diǎn)P，使△PBC的面積最大？，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及△PBC的面積最大值；若沒有，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)題意可知，將點(diǎn)A、B代入函數(shù)解析式，列得方程組即可求得b、c的值，求得函數(shù)解析式；
（2）存在，設(shè)得點(diǎn)P的坐標(biāo)，將△BCP的面積表示成二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)最值的方法即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）將A（1，0），B（-3，0）代y=-x²+bx+c中得

-1+b+c=0 -9-3b+c=0

∴

b=-2 c=3

∴拋物線解析式為：y=-x²-2x+3；

（2）存在．
理由如下：設(shè)P點(diǎn)（x，-x²-2x+3）（-3＜x＜0）
∵S_△BPC=S_{四邊形BPCO}-S_△BOC=S_{四邊形BPCO}-

9

2

，
若S_{四邊形BPCO}有最大值，則S_△BPC就最大，
過P點(diǎn)作PE⊥BO，
∴S_{四邊形BPCO}=S_△BPE+S_{直角梯形PEOC}（9分）
=

1

2

BE•PE+

1

2

OE（PE+OC）
=

1

2

（x+3）（-x²-2x+3）+

1

2

（-x）（-x²-2x+3+3）=-

3

2

(x+

3

2

)2+

9

2

+

27

8

當(dāng)x=-

3

2

時(shí)，S_{四邊形BPCO}最大值=

9

2

+

27

8

，
∴S_△BPC最大=

9

2

+

27

8

-

9

2

=

27

8

當(dāng)x=-

3

2

時(shí)，-x²-2x+3=

15

4

，∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（-

3

2

，

15

4

）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，要注意距離最短問題的求解關(guān)鍵是點(diǎn)的確定，還要注意面積的求解可以借助于圖形的分割與拼湊，特別是要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．