Question

13．某校數(shù)學(xué)興趣小組開展了一次課外活動，過程如下：如圖①，正方形ABCD中，AB=4，將三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角頂點與D點重合．三角板的一邊交AB于點P，另一邊交BC的延長線于點Q．
（1）求證：AP=CQ；
（2）如圖②，小明在圖1的基礎(chǔ)上作∠PDQ的平分線DE交BC于點E，連接PE，他發(fā)現(xiàn)PE和QE存在一定的數(shù)量關(guān)系，請猜測他的結(jié)論并予以證明；
（3）在（2）的條件下，若AP=1，求PE的長．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性質(zhì)得出∠ADC=∠A=∠B=∠BCD=∠DCQ=90°，AD=BC=CD=AB=4，證出∠ADP=∠CDQ，由ASA證明△APD≌△CQD，得出對應(yīng)邊相等即可；
（2）由全等三角形的性質(zhì)得出PD=QD，證出∠PDE=∠QDE，由SAS證明△PDE≌△QDE，得出對應(yīng)邊相等即可；
（3）由（2）和（1）得出PE=QE，CQ=AP=1，求出BQ=BC+CQ=5，BP=AB-AP=3，設(shè)PE=QE=x，則BE=5-x，在Rt△BPE中，由勾股定理得出方程，解方程即可．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ADC=∠A=∠B=∠BCD=∠DCQ=90°，AD=BC=CD=AB=4，
∵∠PDQ=90°，
∴∠ADP=∠CDQ，
在△APD和△CQD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠DCQ}&{\;}\\{AD=CD}&{\;}\\{∠ADP=∠CDQ}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△APD≌△CQD（ASA），
∴AP=CQ；
（2）解；PE=QE，理由如下：
由（1）得：△APD≌△CQD，
∴PD=QD，
∵DE平分∠PDQ，
∴∠PDE=∠QDE，
在△PDE和△QDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{PD=QD}&{\;}\\{∠PDE=∠QDE}&{\;}\\{DE=DE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△PDE≌△QDE（SAS），
∴PE=QE；
（3）解：由（2）得：PE=QE，由（1）得：CQ=AP=1，
∴BQ=BC+CQ=5，BP=AB-AP=3，
設(shè)PE=QE=x，則BE=5-x，
在Rt△BPE中，由勾股定理得：3²+（5-x）²=x²，
解得：x=3.4，
即PE的長為3.4．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理；熟練掌握正方形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．