Question

如圖1，反比例函數(shù)y=

k

x

（x＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（2

3

，1），射線AB與反比例函數(shù)圖象交于另一點(diǎn)B（1，a），射線AC與y軸交于點(diǎn)C，∠BAC=75°，AD⊥y軸，垂足為D．
（1）求k的值；
（2）求tan∠DAC的值及直線AC的解析式；
（3）如圖2，M是線段AC上方反比例函數(shù)圖象上一動(dòng)點(diǎn)，過M作直線l⊥x軸，與AC相交于點(diǎn)N，連接CM，求△CMN面積的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題,一次函數(shù)的性質(zhì),二次函數(shù)的最值

專題：代數(shù)幾何綜合題

分析：（1）根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征易得k=2

3

；
（2）作BH⊥AD于H，如圖1，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征確定B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2

3

），則AH=2

3

-1，BH=2

3

-1，可判斷△ABH為等腰直角三角形，所以∠BAH=45°，得到∠DAC=∠BAC-∠BAH=30°，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值得tan∠DAC=

3

3

；由于AD⊥y軸，則OD=1，AD=2

3

，然后在Rt△OAD中利用正切的定義可計(jì)算出CD=2，易得C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-1），于是可根據(jù)待定系數(shù)法求出直線AC的解析式為y=

3

3

x-1；
（3）利用M點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上，可設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為（t，

2 3

t

）（0＜t＜2

3

），由于直線l⊥x軸，與AC相交于點(diǎn)N，得到N點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t，利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到N點(diǎn)坐標(biāo)為（t，

3

3

t-1），則MN=

2 3

t

-

3

3

t+1，根據(jù)三角形面積公式得到S_△CMN=

1

2

•t•（

2 3

t

-

3

3

t+1），再進(jìn)行配方得到S=-

3

6

（t-

3

2

）²+

9 3

8

（0＜t＜2

3

），最后根據(jù)二次函數(shù)的最值問題求解．

解答：解：（1）把A（2

3

，1）代入y=

k

x

得k=2

3

×1=2

3

；

（2）作BH⊥AD于H，如圖1，
把B（1，a）代入反比例函數(shù)解析式y(tǒng)=

2 3

x

得a=2

3

，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2

3

），
∴AH=2

3

-1，BH=2

3

-1，
∴△ABH為等腰直角三角形，
∴∠BAH=45°，
∵∠BAC=75°，
∴∠DAC=∠BAC-∠BAH=30°，
∴tan∠DAC=tan30°=

3

3

；
∵AD⊥y軸，
∴OD=1，AD=2

3

，
∵tan∠DAC=

CD

DA

=

3

3

，
∴CD=2，
∴OC=1，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-1），
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，
把A（2

3

，1）、C（0，-1）代入
得

2 3 k+b=1 b=-1

，
解

k= 3 3 b=-1

，
∴直線AC的解析式為y=

3

3

x-1；

（3）設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為（t，

2 3

t

）（0＜t＜2

3

），
∵直線l⊥x軸，與AC相交于點(diǎn)N，
∴N點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t，
∴N點(diǎn)坐標(biāo)為（t，

3

3

t-1），
∴MN=

2 3

t

-（

3

3

t-1）=

2 3

t

-

3

3

t+1，
∴S_△CMN=

1

2

•t•（

2 3

t

-

3

3

t+1）
=-

3

6

t²+

1

2

t+

3

=-

3

6

（t-

3

2

）²+

9 3

8

（0＜t＜2

3

），
∵a=-

3

6

＜0，
∴當(dāng)t=

3

2

時(shí)，S有最大值，最大值為

9 3

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：掌握反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；理解坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)；會(huì)利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決最值問題．