Question

1．問題背景
如圖1，在正方形ABCD的內(nèi)部，作∠DAE=∠ABF=∠BCG=∠CDH，根據(jù)三角形全等的條件，易得△DAE≌△ABF≌△BCG≌△CDH，從而得到四邊形EFGH是正方形．
類比探究
如圖2，在正△ABC的內(nèi)部，作∠BAD=∠CBE=∠ACF，AD，BE，CF兩兩相交于D，E，F(xiàn)三點(diǎn)（D，E，F(xiàn)三點(diǎn)不重合）

（1）△ABD，△BCE，△CAF是否全等？如果是，請選擇其中一對進(jìn)行證明．
（2）△DEF是否為正三角形？請說明理由．
（3）進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)，△ABD的三邊存在一定的等量關(guān)系，設(shè)BD=a，AD=b，AB=c，請?zhí)剿鱝，b，c滿足的等量關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）由正三角形的性質(zhì)得出∠CAB=∠ABC=∠BCA=60°，AB=BC，證出∠ABD=∠BCE，由ASA證明△ABD≌△BCE即可；
（2）由全等三角形的性質(zhì)得出∠ADB=∠BEC=∠CFA，證出∠FDE=∠DEF=∠EFD，即可得出結(jié)論；
（3）作AG⊥BD于G，由正三角形的性質(zhì)得出∠ADG=60°，在Rt△ADG中，DG=$\frac{1}{2}$b，AG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$b，在Rt△ABG中，由勾股定理即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）△ABD≌△BCE≌△CAF；理由如下：
∵△ABC是正三角形，
∴∠CAB=∠ABC=∠BCA=60°，AB=BC，
∵∠ABD=∠ABC-∠2，∠BCE=∠ACB-∠3，∠2=∠3，
∴∠ABD=∠BCE，
在△ABD和△BCE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}&{\;}\\{AB=BC}&{\;}\\{∠ABD=∠BCE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△BCE（ASA）；

（2）△DEF是正三角形；理由如下：
∵△ABD≌△BCE≌△CAF，
∴∠ADB=∠BEC=∠CFA，
∴∠FDE=∠DEF=∠EFD，
∴△DEF是正三角形；

（3）作AG⊥BD于G，如圖所示：
∵△DEF是正三角形，
∴∠ADG=60°，
在Rt△ADG中，DG=$\frac{1}{2}$b，AG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$b，
在Rt△ABG中，c²=（a+$\frac{1}{2}$b）²+（$\frac{\sqrt{3}}{2}$b）²，
∴c²=a²+ab+b²．

點(diǎn)評 本題是綜合題目，考查了正三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識；本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握正三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．