Question

如圖，直線y=

1

2

x+m與拋物線y=

1

2

x²-2x+1交于不同的兩點M、N（點M在點N的左側）．

（1）設拋物線的頂點為B，對稱軸l與直線y=

1

2

x+m的交點為C，連結BM、BN，若S_△MBC=

2

3

S_△NBC，求直線MN的解析式；
（2）在（1）條件下，已知點P（t，0）為x軸上的一個動點，
①若△PMN為直角三角形，求點P的坐標．
②若∠MPN＞90°，則t的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）設點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），過點M、N分別作MD⊥BC，NE⊥BC，垂足為D、E，根據(jù)已知條件可求出m的值，進而得到直線解析式；
（2）①由（1）知M（0，1），N（5，），設直線MN的解析式y(tǒng)=

1

2

x+1與x軸的交點為F，因為直角三角形的斜邊不確定，所以要分三種情況分別討論，求出符合題意的t值，即可求出P的坐標；②由①可知當若∠MPN=90°，P的坐標，進而可求出∠MPN＞90°，則t的取值范圍．

解答：解：（1）設點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由

y= 1 2 x+m y= 1 2 x2-2x+1

，可得x²-5x+2-2m=0，
則x₁+x₂=5①，x₁•x₂=2-2m②．
過點M、N分別作MD⊥BC，NE⊥BC，垂足為D、E．
∵S_△MBC=

2

3

S_△NBC，
∴MD=

2

3

NE，即2-x₁=

2

3

（x₂-2），
∴x₁=-

2

3

x₂+

10

3

 ③，
③代入①，得x₂=5，x₁=0，
代入②，得m=1，
∴直線MN的解析式為y=

1

2

x+1；

（2）①由（1）知M（0，1），N（5，），設直線MN的解析式y(tǒng)=

1

2

x+1與x軸的交點為F（-2，0）．
若∠NMP₁=90°，則△MOP₁∽△FOM，
∴

OP1

OM

=

OM

OF

，
即

t

1

=

1

2

，
∴t

1

2

，
∴P₁的坐標為（

1

2

，0）；
若∠NMP₂=90°，過N作NH⊥x軸于H，則△NHP₂∽△FOM，
∴

HP2

HN

=

OM

OF

，
∴

t-5

7

=

1

2

，
∴t=

27

4

，
∴P₂的坐標為（

27

4

，0）；
若∠MP₃N=90°，則△MOP₃∽△FOM，
∴

MO

OP3

=

P3H

HN

，
∴

1

t

=

5-t

7

，
∴2t²-10t+7=0，
解得：t=

5± 11

2

，
∴P₃的坐標為（

5± 11

2

，0）；
②由①可知P₃的坐標為（

5± 11

2

，0），
∵∠MPN＞90°，
∴

5- 11

2

＜t

5+ 11

2

，
故答案為：

5- 11

2

＜t

5+ 11

2

．

點評：本題著重考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、相似三角形的判定和性質(zhì)、一元二次方程解的情況、三角形的面積公式等重要知識點，綜合性強，能力要求極高．考查學生分類討論，數(shù)形結合的數(shù)學思想方法，題目的難度較大．