Question

1．已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2cm，以CD為邊所作的等腰直角三角形CDE的直角頂點(diǎn)為點(diǎn)E，則cos∠ABE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$或$\frac{\sqrt{10}}{10}$．

Answer 1

分析 如圖所示，有兩種情況：①點(diǎn)E在正方形ABCD的內(nèi)部，利用正方形的性質(zhì)得到點(diǎn)E是中心，則∠ABE=45°，易求cos∠ABE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
②點(diǎn)E在正方形ABCD的外部，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理以及解直角三角形進(jìn)行解答．

解答 解：分兩種情況：
①點(diǎn)E在正方形ABCD的內(nèi)部，利用正方形的性質(zhì)得到點(diǎn)E是正方形ABCD的中心，則∠ABE=45°，
所以cos∠ABE=cos45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
②點(diǎn)E在正方形ABCD的外部．
如圖，過點(diǎn)E′作E′N⊥BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，過點(diǎn)E′作E′M⊥AB于點(diǎn)M．∵△CDE是等腰直角三角形，
∴易求BM=E′N=$\frac{1}{2}$CD=1，E′F=$\frac{1}{2}$CD=1，
∴在直角△BME′中，由勾股定理得到：BE′=$\sqrt{B{M}^{2}+ME{′}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∴cos∠ABE=$\frac{BM}{BE′}$=$\frac{1}{\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．
綜上所述，cos∠ABE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$或cos∠ABE=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．
故答案是：$\frac{\sqrt{2}}{2}$或$\frac{\sqrt{10}}{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解直角三角形，正方形的性質(zhì)．解題時(shí)，要對(duì)點(diǎn)E位置進(jìn)行分類討論，以防漏解．