Question

如圖，⊙O切y軸于原點O，過點A（-2

3

，0）作AP切⊙B于P，∠1=30°．
（1）求⊙B的半徑r及直線AP的解析式；
（2）是否存在點N（0，b），使△APN是直角三角形？若存在，求b的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：綜合題

分析：（1）連結(jié)BP，作PH⊥AB于H，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠APB=90°，OB=r，在Rt△ABP中利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系2

3

+r=2r，即可解得r=2

3

；再在Rt△PBH中計算出BH=

1

2

PB=

3

，PH=

3

BH=3，則P點坐標為（

3

，3），然后利用待定系數(shù)法求直線AP的解析式；
（2）先根據(jù)兩點間的距離公式得到AN²=（2

3

）²+b²，AP²=（

3

+2

3

）²+3²=36，PN²=（

3

）²+（b-3）²，然后分類討論：當(dāng)∠APN=90°時，AP²+PN²=AN²，即36+（

3

）²+（b-3）²=（2

3

）²+b²，；當(dāng)∠PAN=90°時，AP²+PN²=AN²，即36+（2

3

）²+b²=（

3

）²+（b-3）²；當(dāng)∠ANP=90°時，AN²+PN²=AP²，即（2

3

）²+b²+（

3

）²+（b-3）²=36，再分別解關(guān)于b的方程即可．

解答：解：（1）連結(jié)BP，作PH⊥AB于H，如圖，
∵AP切⊙B于P，
∴PB⊥AP，
∴∠APB=90°，
∵⊙O切y軸于原點O，
∴OB=r，
在Rt△ABP中，PB=OB=r，
∵∠1=30°，
∴AB=2PB，
∴2

3

+r=2r，
∴r=2

3

；
在Rt△PBH中，∵∠PBH=60°，PB=2

3

，
∴BH=

1

2

PB=

3

，PH=

3

BH=3，
∴OH=OB-BH=

3

，
∴P點坐標為（

3

，3），
設(shè)直線AP的解析式為y=kx+b，
把A（-2

3

，0），P（

3

，3）代入得

-2 3 k+b=0 3 k+b=3

，解得

k= 3 3 b=2

，
∴直線AP的解析式為y=

3

3

x+2；

（2）存在．
∵A（-2

3

，0），N（0，b），P（

3

，3），
∴AN²=（2

3

）²+b²，AP²=（

3

+2

3

）²+3²=36，PN²=（

3

）²+（b-3）²，
當(dāng)∠APN=90°時，AP²+PN²=AN²，即36+（

3

）²+（b-3）²=（2

3

）²+b²，解得b=6；
當(dāng)∠PAN=90°時，AP²+PN²=AN²，即36+（2

3

）²+b²=（

3

）²+（b-3）²，解得b=-6；
當(dāng)∠ANP=90°時，AN²+PN²=AP²，即（2

3

）²+b²+（

3

）²+（b-3）²=36，整理得b²-3b-4=0，解得b₁=4，b₂=-1，
綜上所述，b的值為-6或-1或4或6．

點評：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握切線的性質(zhì)；會運用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式；會運用勾股定理、兩點間的距離公式和含30度的直角三角形三邊的關(guān)系進行幾何計算；理解坐標與圖形性質(zhì)；能運用分類討論的思想解決數(shù)學(xué)問題．