Question

5．如圖，點A是直線AM與⊙O的交點，點B在⊙O上，BD⊥AM垂足為D，BD與⊙O交于點C，OC平分∠AOB，∠B=60°．
（1）求證：AM是⊙O的切線；
（2）若DC=2，求圖中陰影部分的面積（結果保留π和根號）．

Answer 1

分析 （1）由已知條件得到△BOC是等邊三角形，根據等邊三角形的性質得到∠1=∠2=60°，由角平分線的性質得到∠1=∠3，根據平行線的性質得到∠OAM=90°，于是得到結論；
（2）根據等邊三角形的性質得到∠OAC=60°，根據三角形的內角和得到∠CAD=30°，根據勾股定理得到AD=2$\sqrt{3}$，于是得到結論．

解答 解：（1）∵∠B=60°，
∴△BOC是等邊三角形，
∴∠1=∠2=60°，
∵OC平分∠AOB，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴OA∥BD，
∴∠BDM=90°，∴∠OAM=90°，
∴AM是⊙O的切線；
（2）∵∠3=60°，OA=OC，
∴△AOC是等邊三角形，
∴∠OAC=60°，
∵∠OAM=90°，
∴∠CAD=30°，
∵CD=2，
∴AC=2CD=4，
∴AD=2$\sqrt{3}$，
∴S_陰影=S_梯形OADC-S_扇形OAC=$\frac{1}{2}$（4+2）×2$\sqrt{3}$-$\frac{60•π×16}{360}$=6$\sqrt{3}$-$\frac{8π}{3}$．

點評 本題考查了切線的判定和性質，等邊三角形的性質和判定，平行線的性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵．