Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點D是AB上一點，以AD為直徑作⊙O交AC于E，與BC相切于點F，連接AF．
（1）求證：∠BAF=∠CAF；
（2）若AC=6，BC=8，求BD和CE的長；
（3）在（2）的條件下，若AF與DE交于H，求FH•FA的值．（直接寫出結(jié)果即可）

Answer 1

考點：切線的性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）連結(jié)OF，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得OF⊥BC，則易得OF∥AC，所以∠OFA=∠CAF，加上∠OAF=∠OFA，則∠BAF=∠CAF；
（2）設⊙O的半徑為r，OF與DE交于點P，如圖，在Rt△ABC中根據(jù)勾股定理計算出AB=10，再證明△BOF∽△BAC，利用相似比計算出r=

15

4

，則BD=BA-AD=

5

2

；接著根據(jù)圓周角定理由AD為⊙O的直徑得到∠AED=90°，易得DE∥BC，根據(jù)平行線分線段成比例定理可計算出CE=

3

2

；
（3）根據(jù)平行線分線段成比例定理，由OF∥AC，

CF

CB

=

AO

AB

，則可計算出CF=3，再在Rt△ACF中，利用勾股定理計算出AF=3

5

，然后利用HE∥CF得到

FH

FA

=

CE

CA

，可計算出FH=

3 5

2

，最后計算FH•FA的值．

解答：（1）證明：連結(jié)OF，如圖，
∵⊙O與BC相切于點F，
∴OF⊥BC，
∵∠ACB=90°，
∴OF∥AC，
∴∠OFA=∠CAF，
而OA=OF，
∴∠OAF=∠OFA，
∴∠BAF=∠CAF；
（2）解：設⊙O的半徑為r，OF與DE交于點P，如圖，
在Rt△ABC中，∵AC=6，BC=8，
∴AB=

AC2+BC2

=10，
∵OF∥AC，
∴△BOF∽△BAC，
∴

OF

AC

=

BO

BA

，即

r

6

=

10-r

10

，解得r=

15

4

，
∴BD=BA-AD=10-2×

15

4

=

5

2

，
∵AD為⊙O的直徑，
∴∠AED=90°，
而∠C=90°，
∴DE∥BC，
∴

BD

BA

=

CE

CA

，即

5 2

10

=

CE

6

，
∴CE=

3

2

；
（3）解：∵OF∥AC，
∴

CF

CB

=

AO

AB

，即

CF

8

=

15 4

10

，解得CF=3，
在Rt△ACF中，AF=

AC2+CF2

=3

5

，
∵HE∥CF，
∴

FH

FA

=

CE

CA

，即

FH

3 5

=

3

6

，
∴FH=

3 5

2

，
∴FH•FA=

3 5

2

•3

5

=

45

2

．

點評：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．也考查了圓周角定平行線分線段成比例定理和勾股定理．