Question

12．已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)P（0，$-\frac{5}{2}$）、A（5，0）、B（1，0）．
（1）求該二次函數(shù)的解析式；
（2）點(diǎn)C在該二次函數(shù)的圖象上，當(dāng)△ABC的面積為12時(shí)，求點(diǎn)C坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，求△ABC外接圓圓心點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)P（0，$-\frac{5}{2}$）、A（5，0）、B（1，0），根據(jù)待定系數(shù)法可求二次函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（m，n），過點(diǎn)C作CH⊥x軸，垂足為H，由三角形的面積公式得n=±6，代入拋物線方程求得點(diǎn)C坐標(biāo)；
（3）作線段AB、AC的中垂線交于點(diǎn)D，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)即及拋物線的對稱軸可求D的坐標(biāo)．

解答 解：（1）將P（0，$-\frac{5}{2}$）、A（5，0）、B（1，0）分別代入y=ax²+bx+c，得$\left\{\begin{array}{l}{c=-\frac{5}{2}}\\{25a+5b+c=0}\\{a+b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=3}\\{c=-\frac{5}{2}}\end{array}\right.$．
則$y=-\frac{1}{2}{x^2}+3x-\frac{5}{2}$；                                           
（2）設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（m，n），如圖1，過點(diǎn)C作CH⊥x軸，垂足為H，
∵S_△ABC=12，
∴$\frac{1}{2}$AB•CH=12，即$\frac{1}{2}$×4×|n|=12，
解得n=±6，
當(dāng)y=6時(shí)，-$\frac{1}{2}$x²+3x-$\frac{5}{2}$=6，沒有實(shí)數(shù)解，
當(dāng)y=-6時(shí)，-$\frac{1}{2}$x²+3x-$\frac{5}{2}$=-6，解得x₁=-1，x₂=7，
∴C（7，-6）或C（-1，-6）；
（3）點(diǎn)C₁（7，-6）與C₂（-1，-6）關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，△AB C₁與△ABC₂外接圓圓心是同一點(diǎn)，
以點(diǎn)C（7，-6）為例求解．
如圖2分別作AB、AC的中垂線交于點(diǎn)D，則D為△ABC外接圓的圓心，連接DB、DC，則DB=DC，
設(shè)D（3，y），
∵DB²=2²+y²，CD²=（y+6）²+4²
∴2²+y²=（y+6）²+4²，
解得y=-4，
∴D（3，-4），
∴△ABC外接圓的圓心D的坐標(biāo)為（3，-4）．

點(diǎn)評 本題綜合考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，三角形外心的確定及坐標(biāo)的求法，在拋物線中綜合面積問題，求滿足條件的點(diǎn)坐標(biāo)等問題．