Question

如圖，在△ABC中，AD、BE是高，若∠ACB=60°，∠BAC=75°．
（1）求證：△BDH≌△ADC；
（2）連結DE，求

DE

AB

的值．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質

專題：計算題

分析：（1）在直角三角形ACD中，由∠ACB的度數求出∠CAD的度數，進而求出∠BAD為45°，得到三角形ABD為等腰直角三角形，即AD=BD，再由一對直角相等，且得到三角形AHE與三角形BHD相似，得到∠CAD=∠HBD，利用ASA即可得證；
（2）連接DE，由AE垂直于BE，AD垂直于BD，得到A、B、D、E四點共圓，利用四邊形的外角等于它的內對角得到∠CED=∠ABC，再由公共角，得到三角形CED與三角形ABC相似，由得出得比例，根據直角三角形ACD中，30度所對的直角邊等于斜邊的一半求出DC與AC之比，即為所求之比．

解答：（1）證明：∵∠BDH=∠AEH=90°，∠AHE=∠BHD，
∴△AHE∽△BHD，
∴∠CAD=∠HBD，
∵∠ACB=60°，∠ADC=90°，
∴∠CAD=30°，
∴∠BAD=∠BAC-∠CAD=45°，
∴△ABD為等腰直角三角形，
∴AD=BD，
在△BDH和△ADC中，

∠HBD=∠CAD BD=AD ∠HDB=∠CDA=90°

，
∴△BDH≌△ADC（ASA）；
（2）連接ED，
∵AE⊥BE，AD⊥BD，
∴A、B、D、E四點共圓，
∴∠CED=∠ABC（圓內接四邊形外角等于它的內對角），
∵∠ECD=∠BCA，
∴△CED∽△CBA，
∴

DE

AB

=

CD

AC

，
∵∠CAD=30°，
∴在Rt△ACD中，CD=

1

2

AC，即

CD

AC

=

1

2

，
則

DE

AB

=

1

2

．

點評：此題考查了全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，以及等腰直角三角形的性質，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解本題的關鍵．